椭圆相关性质.jsp_

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1、椭圆相关性质2012-3-23一、解答题1.已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）设线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.答案:（1）易知.由椭圆的第二定义，知，所以.同理.因为，所以，即.（2）解答:（2）因为线段的中点为，所以的垂直平分线方程为.依点在轴上，可设，代入上式得.①因为都在椭圆上，所以，所以.②将②代入①并结合，得，所以.二、解答题2.如图，在面积为1的△中，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程.答案:解答:以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系.设解得点坐标是，椭圆长轴所以，椭圆方程为点评:建立坐标系后，、是坐

2、标平面中的两个定点，tan和tan与直线、的斜率相关，由此可写出两直线方程并求得点的坐标，再利用椭圆概念求出椭圆长轴长并在此基础上写出椭圆方程.三、解答题3.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一条准线的方程是倾斜角为的直线交椭圆于两点，且线段的中点为（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上两点，为原点，且满足求证直线和斜率之积的绝对值为定值.答案:（1）（2）证明设的坐标分别为则有两式相加，得由得由③，④解得又所以即(定值).解答:（1）解设椭圆的方程为因为直线的倾斜角为且过点所以即由得设的坐标为的坐标为则即①，又由准线方程，得②，由①，②及得故椭圆的方程为四、解答题4.已知椭

3、圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为.求此椭圆的方程.答案:，或.解答:若椭圆的焦点在轴上，则设方程为，两焦点为，其中，短轴的一个端点为，长轴的一个端点为.由△为正三角形知，，所以.①又设为椭圆上任一点，则，所以，即，所以，焦点到椭圆上的点的最短距离为，于是.②由①，②，得.所以，这时椭圆的方程为.同理，若椭圆的焦点在轴上，则方程为.综上，椭圆的方程为，或.五、解答题5.已知椭圆的方程为点的坐标为（1）若直角坐标平面上的点满足求点的坐标；（2）设直线交椭圆于两点，交直线于点若证明：为的中点；（3）对于椭圆上的点如果椭

4、圆上存在不同的两个交点满足写出求作点的步骤，并求出使存在的的取值范围.答案:（1）（2）由方程组消得方程因为直线交椭圆于两点，所以即设中点坐标为则由方程组消得方程又因为所以故为的中点；（3）求作点的步骤：1°求出的中点2°求出直线的斜率3°由知为的中点，根据（2）可得的斜率4°从而得直线的方程：5°将直线与椭圆的方程联立，方程组的解即为点的坐标.欲使存在，必须点在椭圆内，所以化简得又即所以故的取值范围是解答:2010上海（理）23六、解答题6.我们把由半椭圆≥与半椭圆≤合成的曲线称作“果圆”,其中如图,点是相应椭圆的焦点,和分别是“果圆”与轴的交点.(1)若△是边长为1的等

5、边三角形,求“果圆”的方程；(2)当时,求的取值范围；(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在,求出所有可能的值；若不存在,说明理由.解答:(1)由题意知则故“果圆”方程为(2)由知故得(3)若存在,且则可设直线族为满足条件的“果圆”的弦.则得交点得交点故中点为所在的方程为≥若存在,且可设过的两条“果圆”弦为设①得交点得弦中点为②得交点得弦中点为所以故该“果圆”平行弦中点的轨迹为一条线段.同理时,可证得“果圆”平行弦的中点的轨迹也为一条线段.七、解答题7.定义：由椭圆的两个焦点和

6、短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆（1）若椭圆判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围？（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法.（不必证明）答案:（1）椭圆与相似.因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭

7、圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1（2）椭圆的方程为：设∶点中点为则所以则因为中点在直线上，所以有即直线的方程为：∶由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数解，所以即（3）作法1：过原点作直线交椭圆和椭圆于点和点则和即为所求相似三角形，且相似比为作法2：过点点分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为解答:2011徐汇二模文（23）理（22）八、解答题8.给定椭圆称圆心在原点半径为的圆是椭圆的“伴随圆”