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1、《有限元》讲义第5章有限条法5.1引言一、发展概况有限条法(FiniteStripMethod)诞生于二十世纪60年代，一般认为主要创始人有：Y.K.Cheung(张佑启)教授和G.H.Powell(鲍威尔)、D.W.Ogden(奥格登)两人。Y.K.Cheung在1966～1969年间首先用有限条法研究了矩形薄板弯曲问题，后两人开始于板式桥梁的研究工作。二、有限条法的力学模型有限条法可看作是有限元的一种特殊形式或分支，是一种（有限元）半解析法，适应于一些量大面方的，常用的规则结构形式，采用有限条法可使弹性力学中的
2、二维问题化为一维问题（三维化二维），使总刚方程降阶，从而提高效率。象有限元一样，有限条法亦需将连续体离散化，所不同的是，不象有限元一样可沿任意方面离散，而只能沿某一方向。如图示矩形板，用有限元分析（矩形元）的网格划分如右图示，而有限条则是沿x方向等分成若干条带。有限条：x方向采用多项式插值函数f=f(x)（梁函数）y方向采用三角级数表示：f=Y(y)r然后板的位移函数采用一总和函数表示：w=åf(x)Ym(y)m=15.2梁函数和基本函数一、梁函数梁函数用以表示条元的横向变化规律。图示梁有两个结点(i,j),每个结
3、点两个位移:线位移(挠度)d1、d3；角位移d2、d4任意点的位移函数:23fx()=a1+a2x+a3x+a4x代入边界条件可得：1《有限元》讲义ìüd1x2x3x2x3x2x3x2x3ïïdé32232ùïï2fx()=-ê1+x-+--+úíý=[Ld]{}b2b3bb2b2b3bb2d51-[L]为在第ëûïï3ïïdîþ4二章中推导出的平面梁单元的形函数,此处称梁函数。二、基本函数基本函数用来表示条元的纵向变化规律，Y.K.Cheung将基本函数取为振动梁微分方程（按振动梁微分方程的规律变化）:44dYæ
4、mö-ç÷Y=04dyèlø根据结构力学中“梁的无限自由度振动”理论可知，其解的一般形式为:mmmmYy()=CsinyC+cosyCsh+yCch+y1234llll(5-2-1)在结构力学中，上式又称符拉索夫振动梁函数，式中C1～C4为由两端边界条件确定的待定常数，Y(y)由不同的支承条件，可得出相应的基本函数。下面介绍几种常用支承条件的基本函数。1．两端简支边界条件：Y(0)=Y"(0)=0Y(L)=Y"(L)=0代入式(5-2)得:mmYy()=sinyml或者mpYy()=sinymlm=π,2π,3π…
5、…mπmp取,m=1,Yy()=siny,1l2.一端简支一端固定边界条件:Y(0)=Y"(0)=0；Y(L)=Y'(L)=02《有限元》讲义特解(基本函数):mmmmY()y=siny-ashymmllm1=3.9266，m2=7.0683,m3=10.2102，m4=13.3520,4m+1m=p（m=5,6,…）(特征方程tgμ=thμ)。m4sinmmam=。谐波图与简支梁相似。shmm3.两端固定边界条件:'ìY(0)=Y(0)=0í'îYl()=Yl()=0基本函数:mmmmmmmmY()y=siny-
6、shy-a(cosych-y)mmllllm=4.7300，m=7.8532，m=10.9956，m=14.1372，m=2m+1p，（m=5,6,…）1234m25.3弯曲板有限条法一、位移函数图a示简支板,在任意荷载作用下,将产生光滑的变形曲面(位移场),x,y方向的变形曲线分别如图示,y方向变化规律取为基本函数,x方向变化规律取为梁函数。现在，沿板的支承方向将其离散成有限个矩形板条。从中取出一典型条元e加以研究，当条元宽度b较窄时,其位移场可采用多项式f(x)和基本函数Y(y)的组合形式表示,如是可得挠度：3
7、《有限元》讲义rw(x,y)=åf(x)Ym(y)(5-3-1)m=1式中f(x)为描述横向位移变化规律的多项式函数，即，梁函数。Y(y)为摸拟板条纵向(y方向)挠度曲线的基本函数。代入得：rr23w(x,y)=f(x)Y(y)=(a+ax+ax+ax)Y(y)åmå1234mm=1m=1其横向转角：¶wr2q==å(a2+2a3x+3a4x)Ym(y)(5-3-2)¶xm=1设条元结线i的挠度为wi,转角qi；结线j挠度为wj,转角qj(如图b)。定义四个结线位移的表达式为:rüwi=w(0,y)=åwimYm(
8、y)ïm=1ï¶w(0,y)rïqi==åqimYm(y)ï¶xm=1ïýrïw=w(b,y)=åwY(y)(5-3-3)jjmmïm=1ï¶w(b,y)rïqj==åqjmYm(y)ï¶xm=1þ式中:wim，qim，wjm，qjm为第m个谐波所对应的结线i,j的挠度位移幅值和转角位移幅值。将5-3-3代入5-3-1、5-3-2的左边并消去Y(y)得:mw
