2.2.2 反证法 学案（人教A版选修1-2）

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1、2．2.2　反证法课标解读1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点)2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(难点)反证法【问题导思】　　著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，　早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”　王戎的论述运用了什么推理思想？【提示】　实质运用了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成立(

2、即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等.用反证法证明否(肯)定式命题　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【思路探究】　此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情

3、况，并应用．【自主解答】　假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．常见否定词语

4、的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在已知非零实数a、b、c成等差数列a≠c，求证：，，不可能成等差数列．【证明】　假设，，成等差数列，则＝＋＝，又a、b、c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴b＝，∴＝，∴(a－c)2＝0，即a＝c.这与a≠c矛盾．故假设错误，原命题正确.用反证法证明“唯一性”命题　若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【思路探究】　先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，

5、b)内有零点，再用反证法证明零点唯一．【自主解答】　由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．　证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“

6、唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．【证明】　如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立.用反证法证明“至多、至少”问题　已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.【思路探究】　明确“至少”的含义―→对结论作出假设―→得出矛盾．【自

7、主解答】　假设，都不小于2，即≥2，≥2.∵x＞0，y＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2矛盾．∴，中至少有一个小于2.　常见结论词与反设词列表如下：原结论词等于(＝)大于(＞)小于(＜)对所有x成立对任意x不成立至少一个至多一个反设词不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)存在某个x不成立存在某个x成立一个都没有至少两个在本例中，若x，y>0且x＋y＝2，求证：，中至少有一个不小于2.【证明】　假设，都小于2.则1＋x<2y,1＋y<2x，，那么2＋x＋y<2x＋2y，∴x＋y>2与已知x＋y＝

8、2矛盾．所以假设不成立，原命题成立.利用反证法证题时，假设错误而致误　已知a，b，c是互不相等