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《变分法的一次变革_从欧拉到拉格朗日的形式化改造》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、5自然科学史研究6第28卷第3期(2009年):312)325StudiesintheHistoryofNaturalSciencesVo.l28No.3(2009)变分法的一次变革:从欧拉到拉格朗日的形式化改造贾小勇(重庆文理学院数学与统计学院,重庆402160)李跃武(甘肃省合作民族师范高等专科学校数学系,甘肃合作747000)摘要从欧拉方法发展到拉格朗日方法,其中蕴含着变分法的重大变革。在研读原始文献的基础上,以/为什么数学0为切入点和主要目的,对欧拉和拉格朗日的研究方法进行分析和比较,重点探讨拉格朗日D-算法产生的数学背景、形成过程及重大影响。拉格朗日以摆脱几
2、何直观和简化计算为目标,以消除欧拉方法中微分符号d的双重意义和混用现象为切入点,通过引进符号D,借助于形式的类比和反复的推演,提炼出运算规则,最终发明了D-算法。因此拉格朗日对变分法所作的变革,是形式化改造的产物。而这种形式化改造的成功,对18世纪微积分学从几何形态向/代数分析0形态的过渡、几何论证向分析论证的转变起到了不可忽视的推动作用;同时在一定意义上也增进了对符号的信任程度。对变分法历史的这种探究,为全面理解18世纪数学发展的特点提供了一个新视角。关键词变分法欧拉拉格朗日形式化中图分类号N091BO11文献标识码A文章编号1000-0224(2009)03-03
3、12-140引言变分法是研究泛函(即函数的函数)极值问题的一个分析学分支,在20世纪以前,泛函通常以积分的形式呈现,因而此时的变分法主要用来研究积分极值问题。虽然古典等周问题等属于变分法的问题很早就产生了,但变分法作为一门数学分支,真正发端于17世纪末、18世纪初由最速降线问题所引发的一系列挑战。在牛顿(IssacNewton,1643)收稿日期:2007-04-20;修回日期:2008-07-25作者简介:贾小勇,1970年生,甘肃通渭人,重庆文理学院数学与统计学院副教授,主要从事近现代数学史研究;李跃武,1972年生,甘肃临洮人,甘肃合作民族师范高等专科学校数学系
4、讲师,主要从事近现代数学史研究。基金项目:国家自然科学基金(项目编号:10771169)3期贾小勇等:变分法的一次变革:从欧拉到拉格朗日的形式化改造3131727年)、雅可布#伯努利(JacobBernoull,i1654)1705年)、约翰#伯努利(JohnBernou-ll,i1667)1748年)、泰勒(BrookTaylor,1685)1731年)等先驱者富有竞争性的探索基础上,欧拉(LeonhardEuler,1707)1783年)从1728年起,开始了在变分法领域的研究。1744年,欧拉对其研究成果进行了系统总结和改进,撰写并出版了数学史上第一本变分法专著
5、)))5求某种具有极大或极小性质的曲线或解最广义的等周问题的技巧6(以[1]下简称5技巧6)。在这部被卡拉泰奥多里(ConstantinCarathodory,1873)1950年)称[2]为/迄今所写最优美的数学著作之一0的书中,欧拉首次给出了变分问题的清晰而一般的表述,确认了变分问题的解所满足的一些基本方程的标准形式,并提供了推导这些方程的一般方法,/将变分法从对一些具体问题的讨论转变为非常一般的问题的讨论0([3],68页)。5技巧6是变分法发展史上的一座里程碑,标志着变分法作为一个新的分析学分支的诞生。然而,由于欧拉在此书中使用了大量的几何论证,其几何和分析相
6、结合的方法使得具体的推理过程非常繁复。欧拉本人也期待着能有一种不依赖于几何直观的改进方法,并为此付出了很多精力。这种新方法的发现者是拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736)1813年)。1755年8月12日,年仅19岁的拉格朗日给欧拉写信,阐述了这种新方法)))D-算法。在信中,他不仅介绍了他的算法,而且还用其解决了5技巧6中所列的基本变分问题,展示了该方法[4]的优越性。拉格朗日的方法是一种纯分析的方法,无需借助任何几何直观,通过引进新的符号D及其运算规则,使得整个演算过程简洁、优美。更为重要的是,这种方法包含着一种极大的变革,把自牛顿以来通过改
7、变极值曲线上个别纵坐标以获取比较曲线的方法,转变为通过整条曲线的改变来获得比较曲线,由此创立了一般意义上的变分方法,使变分法的研究走上了一条与欧拉及其他前辈数学家不同的路线,将早期变分法的发展推进到一个新阶段。[5]1755年9月6日,欧拉给拉格朗日回信,高度赞扬了拉格朗日的方法。随后欧拉放弃了自己原来的方法¹,转而运用拉格朗日的演算方法,并在1764年的两篇论文中,将[6,7]º这门数学分支正式命名为/变分法0(calculusofvariations),从此拉格朗日的变分演算成了古典变分法的标准算法。从欧拉方法过渡到拉格朗日方法是变分法发展过程的
