偏微分方程讲义

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1、《数学物理方程》讲义第一章波动方程齐海涛2010年9月30日目录1方程的导出、定解条件12达朗贝尔公式、波的传播33初边值问题的分离变量法74高维波动方程的柯西问题105波的传播与衰减136能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性141方程的导出、定解条件例1.1细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x,t)满足方程()()∂∂u∂∂uρ(x)=E,∂t∂t∂x∂x其中ρ为杆的密度,E为杨氏模量.解:由细杆的假设,在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情

2、形是相同的.取杆的左端截面的形心为原点,杆轴为x轴.任取(x,x+∆x)上的小段B为代表加以研究.t时刻,B的两端位移分别记作u(x,t)和u(x+∆x,t)=u(x,t)+∆u,B段的伸长为u(x+∆x,t)−u(x,t)=∆u,相对伸长则为u(x+∆x,t)−u(x,t)∆u∂u==(x,t),∆x→0.∆x∆x∂x由Hooke定律,B两端的张力分别为E(x)ux

3、x,E(x)ux

4、x+∆x.B段的运动方程为∂2uSρ(x)∆x2(x,t)=E(x)Sux

5、x+∆x−E(x)Sux

6、x∂t其中S为细杆截面面积,x为B段重心坐标.约去S,令∆x→0,有()()∂∂u∂∂uρ(

7、x)=E(x).∂t∂t∂x∂x1山东大学威海分校1方程的导出、定解条件例1.2在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支撑上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.解:(1)u(0,t)=u(l,t)=0;(2)端点自由,即端点处无外力作用.在左端点SE(0)@u(0,t)=0,即@u(0,t)=0.@x@x同理右端点@u(l,t)=0.@x(3)端点固定在弹性支承上,端点受的外力与支撑的变形成比例.如左端有弹性支承,弹性系数设为k,则()∂u∂ukSE(0)(0,t)=ku(0,t),−+hu=0h=.∂x∂xE(x)Sx=0同理右端:()

8、∂u+hu=0.∂xx=l例1.3试证:圆锥形枢轴的纵向振动方程为[()2]()22∂x∂ux∂uE1−=ρ1−,∂xh∂xh∂t2其中h为圆锥的高.解:仿照第一题有(R为圆锥的底面半径)∂2u∂u∂uρV(x)(x,t)=ES(x+∆x)(x+∆x,t)−ES(x)(x,t)∂t2∂x∂x其中(x)2(x)2V(x)=πR21−∆x+o(∆x),S(x)=πR21−.hh令∆x→0,即得结论.例1.4绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出此线的微小横振动方程.解:设弦长为l,取弦上端点为原点,取铅垂向下的轴为x轴.设u(x,t)为时

9、刻t,x处的横向位移.取位于(x,x+∆x)的微元进行分析,由绝对柔软的假设,弦的张力T的方向总是沿弦的切线方向.又由微小振动的假设ux≪1.因此认为弦在振动过程中不伸长,且张力T与时间无关.考察受力平衡(α1,α2为张力T的方向与竖直线的夹角)T(x+∆x)cosα2−T(x)cosα1=−ρg∆x,(1)T(x+∆x)sinα2−T(x)sinα1=ρ∆xutt.(2)由(1)知dT=−ρg⇒T=−ρgx+C.dx齐海涛htqi2008@gmail.com2山东大学威海分校2达朗贝尔公式、波的传播而x=0时,T(0)=ρgl,知C=ρgl,所以T(x)=ρg(l−x)..O

10、.又∂usinα2≈tanα2=(x+∆x,t),∂x.T∂usinα1≈tanα1=(x,t).∂x.x由(2)知.x+∆x[]∂∂u(x)∂2uT(x)=ρ.T∂x∂x∂t2[].x∂2u∂∂u⇒=g(l−x).∂t2∂x∂x例1.5一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.解:k,σ为正常数utt−a2uxx+kut=0,00,u

11、t=0=φ(x),ut

12、t=0=ψ(x),u

13、x=0=0,(ux+σu)

14、x=l=0.例1.6若F(ξ),G(ξ)均为其变元的二次连

15、续可导函数,验证F(x−at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11).√例1.7验证u(x,y,t)=1/t2−x2−y2在锥t2−x2−y2>0中满足波动方程utt=uxx+uyy.2达朗贝尔公式、波的传播例2.1证明方程[()]()∂x2∂u1x2∂2u1−=1−∂xh∂xa2h∂t2(h>0常数)的通解可以写成F(x−at)+G(x+at)u=,h−x其中F,G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数,并由此求解它的初值问题:∂ut=0:u=φ(x),=ψ(x).∂t解:(1)令v(