概率论及其应用

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1、概率论及其应用

2、第一章的作业毕竞烨F06030285060309065September16,20071.在1，2，3，4，5五个数字中先任意抽取一个，然后在剩下的四个中再抽取一个。假定全部20个可能的抽取结果都具有相同的概率，试求有一个奇数在如下情况的概率。(a)第一次被抽出；(b)在第二次被抽出；(c)两次都被抽到。解：(a):3/5*100=60%(b):60%*50%+40%*75%=60%(c):60%*50%=30%.2.在1.2节例(a)的样本空间中，给全部27个点以相同的概率。利用1.4节例(d)的符号，对事件A1=S1,A2=

3、S2来验证公式(7.4)。S1S2包含多少样本点？解：易知事件S1包含12个样本点，事件S2包含12个样本点，事件S1[S2包含18个样本点，事件S1S2包含6个样本点。由公式(7.4)PfA1[A2g=PfA1g+PfA2g¡PfA1A2g可以得到事件S1S2包含12+12¡18=6个样本点。验证完毕。3.考虑数字1，2，3，4的24种可能的排列，并且对每一个排列都赋以概率1/24。令Ai为数字i出现在第i个位置（其中i=1;2;3;4）的事件。验证公式(7.4).解：以事件A1;A2为例，事件A1包含6个样本点，事件A2包含6个样本点，事件

4、A1A2包含2个样本点，事件A1[A2包含10个样本点。由公式(7.4)PfA1[A2g=PfA1g+PfA2g¡PfA1A2g可以得到事件A1[A2包含6+6¡2=10个样本点。其他情况同理，验证完1毕。4.扔一枚硬币，直到它出现连续地两次相同的结果为止。设扔n次的每一个可能结果都具有相同的概率1=2n¡1。试描述这个样本空间，并求出下列事件的概率：(a)实验在扔第6次之前结束；(b)偶数次结束。解：不妨记正面为"+"，反面为"-",则样本空间中含有++，¡¡，概率为1/4，含有¡++，+¡¡，概率为1/8，以此类推。(a):1=4+1=4+

5、1=8+1=8+1=16+1=16+1=32+1=32=15=16:(b):无穷级数X11S=2=2¤(1=4)=(1¡1=4)=2=3:22ii=15.在1.5节例(b)的样本空间中，我们对(*)中恰巧包含k个字母的样本点赋以概率1=2k。(a)：证明(*)中的样本点的概率之和为1，(**)中之两个样本点的概率为0。(b)：证明a胜的概率为5/14，b胜的概率也是5/14，c胜的概率为2/7。(c):在第k局或在第k局前无法判断谁胜谁负的概率为1=2k¡1.解：(a):(*)中的样本点为aa;bb;acc;bcc;acbb;bcaa;acba

6、a;bcabb:::，概率之和为X11S=2=2¤1=2=1:2kk=2(**)中的样本点为acbacbacbacb:::;bcabcabcabca:::,只有两个，所以1S=2lim=0:k!12k(b):注意到在样本点中，每3组中有一次a无法获胜，所以a获胜的概率是X11S=1=2¡=1=2¡1=7=5=14:8ii=1b的概率同理可得，其余都是c获胜的情况，所以概率为1¡5=14¡5=14=2=7。(c):即用1减去在第k局前能够判断胜负的概率:1¡1=2¡1=4¡1=8¢¢¢¡1=2k¡1=1=2k¡1.6.变更1.5节例(b)，计算每

7、一局中不分胜负的可能性，给出适当的样本空间。你将如何定义概率？2解：1=2k¡1,样本空间为:a;b;ac;bc;acb;bca;acba;bcab;¢¢¢,长度为k的字符串概率为1=2k.007.在习题３中，证明：A1A2A3½A4和A1A2A3½A4.证明：满足A1A2A3的事件只有一种可能，即1234排列，满足A4，所00以A1A2A3½A4．满足A1A2A3的事件只有1243排列，满足A4，所以得证．8.利用1.4节中例d的符号证明(a)S1S2D3=0;(b)S1D2½E3;(c)E3¡D2S1¾S2D1:证明：(a)：由于S1S2½

8、S3且S3;D3互斥，所以S3D3=0，所以S1S2D3=0.(b)：因为E3=S1D2[S2D1[T1E2[E1T2,而且两两交为空,得证S1D2½E3.(c)：由(b)易得．9.掷两颗筛子，令A为点数的和是奇数的事件，B为至少出现一个幺点0的事件．试描述事件AB;A[B;AB．如果假定全部３６个样本点都具有相0同的概率，试求AB;A[B;AB的概率．解：事件AB：A的点数的和为奇数且B中至少出现一个幺点,事件A[B：0点数的和是奇数或至少出现一个幺点，事件AB：点数的和是奇数且没有出现一个幺点。A事件中和为奇数，就是第一个奇第二个偶加上第一

9、个偶第二个奇的情况，概率为1=4+1=4=1=2，B的概率为1=6+1=6¡1=36=11=36，事件AB的0概率为1=6,事件A[B的概率是1=2+