广义Catalan猜想

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1、数学杂志Vo1．33(2013)J．ofMath．(PRC)No．6广义Catalan猜想刘志伟(贺州学院理学院，广西贺州542899)摘要：本文主要研究了广义Catalan猜想．利用三项Diophantine方程的性质，解决了当mn是偶数时的广义Catalan猜想，并首次提出了Vm∈N，Vn∈N，广义Catalan方程仅有(，m，佗)=(3，2，2，3)解的猜想．关键词：三项Diophantine方程：广义Catalan猜想；有理数解MR(20101主题分类号：11D25中图分类号：O156．7文献标识码：A文章编号

2、：0255—7797(2013)06—1106—091引言设Z，N，Q分别表示全体整数，正整数以及有理数的集合．1844年，Catalan【】曾经猜测正整数8和9是唯一的两个连续的完全方幂．显然，上述猜想可表述为猜想1．1方程一Y=1，，Y，m，n∈，m>1，n>1仅有解(，Y，m，m)：(3，2，2，3)．这是数论中的一个著名难题，一百多年来人们曾对此有过大量的研究(参见文献【2])．例如，Lebesgue[。】证明了：方程(1．1)没有适合2In的解(，Y，m，佗)；柯召[]证明了：方程(1．1)仅有解(，Y，m，

3、n)=(3，2，2，3)适合22004年，这一猜想最终由Mih~ilescu【5]完全解决．1986年，Shorey和Tijdeman将Catalan猜想扩展到了有理数的范围，提出了以下猜想：猜想1．2方程一Y”=1，，Y∈Q，X>0，Y>0，m，n∈N，m>1，佗>1，m?2>4(1．2)仅有有限多组解(，m，几)．上述猜想称为广义Catalan猜想．由于该猜想与著名的广义Fermat猜想有直接的联系(参见文献(71的问题B19)，所以这是一个很有意义但又非常困难的问题，目前仅解决了一些极特殊的情况．例如，vande

4、rPoortenIs】证明了：对于给定的S集合，即由有限多个素数经乘法生产的正整数的集合，方程(1．2)仅有有限多组解(，m，n)可使和y都是S一整数，即分母是该S集合中元素的有理数．本文运用三项Diophantine方程的性质完整地解决了广义Catalan猜想在mn是偶数时的情况，即证明了：收稿日期：2012—09．03接收日期：2013。04—17基金项目：广西教育厅科研项目(201012MS210)；贺州学院科研项目(2009KYYB10)．作者简介：刘志伟(1963-)，男，广西贺州，教授，研究方向：代数数论．

5、No．6刘志伟：广义Catalan猜想1107定理方程(1．2)仅有解(，II,m，n)=(3，2，2，3)适合21ran，而且该方程除此以外的解(，m，n)都满足gcd(m，n)=1，2fm礼，m3，礼3，m佗15(1．3)最后，根据上述结果以及Fermat猜想，本文提出以下猜想猜想1．3方程(1．2)仅有解(，m，n)=(3，2，2，3)．2若干引理引理2．1对于正整数m和n，设d=gcd(m，礼)，I=lcm(m，竹)(2．1)此时必有．证因为d=gcd(m，n)，所以m=dm1，n=dn1，m1，nl∈，gcd

6、(ml，n1)=1(2．2)根据文献[9】的定理1．6．4，从(2．2)式可得=mn／d=dmlnl，由此可知dI引理2．2方程。+y。=2z。，，Z∈z，XYZ≠0，gcd(X，Y)=1(2．3)仅有解(，Z)=(，，)，其中∈{士1)证参加文献[10]．引理2．3方程+y。=2z。，x，Z∈z，XYZ≠0，gcd(X，Y)=1(2．4)仅有解(，Z)=(3AI，一2，2)，其中1，2∈{士1)．证设(，11,z)是方程(2．4)的一组解．由于此时(入1，．x2z)都是(2．4)式的解，所以不妨假定>-0且Z>_0．

7、首先讨论y>_0时的情况．此时从(2．4)式可得Z。一X=(Z。+)(z。一X)=y。>-0(2．5)如果Y是奇数，则因gcd(X，y)=1，所以X和Z一奇一偶，而且gcd(Z。+，Z。一)=1．因此从(2．5)式可得z。+x：0。，Z。一x=b3，Y=ab，a，b∈z，gcd(X，Y)=1，(2．6)在(2．6)式的第一和第二个等式中消去X即得n0+b0：2Z0(2．7)1108数学杂志Vo1．33根据引理2．2，从(2．7)式可得a：b：Z=1．然而，此时从(2．6)式可得X=0，故不可能．如果y是偶数，则和z都是

8、奇数，而且gcd(Z。+X，Z。一X)：2．因此从(2．5)式可得z。+￡：2a。Z。一E=4b。，，Y=2ab，a，b∈z，gcd(a，b)=1，￡∈{士1)，(2．8)从(2．8)式可得Z。+(一0)。=2b。(2．9)根据引理2．2，从(2．9)式可知Z=一a．然而，因为a和z都是正整数，故不可能，从以上分析可知方程(2．4