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1、高校应用数学学报A辑Appl.Math.J.ChineseUniv.Ser.A2006，21(4):465-476非对称阻尼系统特征对一阶导数与二阶导数的计算解惠青‘，戴华2(1.华东理工大学理学院，上海200237;2.南京航空航天大学理学院，江苏南京210016)摘要:提出了一种计算非对称阻尼系统特征对一阶、二阶导数的方法.该方法利用队尼系统的特征向量计算特征时的导数，避免了状态空间中特征向量的使用，节省了计算量，且不要求系统所有特征值的互异性.最后以两个非对称阻尼系统进行数值试验，数值结果表明提出的方法是有效的.关镶词:特征对导数;灵敏度分析;f
2、il尼系统;非对称系统中图分类号:0325;0171-2文献标识码:A文章编号:1000-4424(2006)04-0465-12'1引言特征值、特征向量关于系统参数的导数在结构优化〔‘〕、模型修正[21、故障诊断[31等领域中都有重要应用.NelsonB1,Akgun[s7,Yuan[61等研究了无阻尼系统特征对导数的计算·然而，在实际问题中阻尼是不可避免的。阻尼系统的特征值问题可描述为二次特征值问题以2m十AC十K)u=0,其中，M,C,KER""”分别为质量、阻尼和刚度矩阵.当M,C,K均为对称矩阵时，称相应的阻尼系统为对称阻尼系统，否则称为非对
3、称阻尼系统.在考虑阻尼的结构动力系统中，往往需要计算如下阻尼系统特征对的导数:[A(p)2M(p)+A(p)C(p)+K(p)lu(p)=0，(1)其中，p=[p=...,PNT}GRN,M(p),C(p),K(p)ER"x”是在p"ERN的某邻域内解析的矩阵值函数.许多计算无阻尼系统特征对导数的方法也可用于阻尼系统特征对导数的计算，但需要利用状态空间的特征向量，计算量较大.因此，工程技术领域中更感兴趣的是在n维空间中计算阻尼系统特征对导数的方法.Lee,Kim,Jung['1提出了在n维空间中计算阻尼系统特征收稿日期:2005-06-21基金项目:华
4、东理工大学科研基金(YK0142106)466高校应用数学学报第21卷第4期向量导数的加边系数矩阵法.AdhikariEs〕提出了在n维空间中计算阻尼系统特征向量导数的模态方法，但该方法要求系统具有2n个互异的特征值.[9」给出了一种近似计算阻尼系统特征向量导数的方法.上述方法都要求阻尼系统是对称的.但是，在许多实际问题中，往往需要计算非对称阻尼系统特征对的导数.Cardani和Mantegazza[io〕提出了一种计算非对称阻尼系统特征对导数的加边系数矩阵法，但该方法数值不稳定.Friswell与AdhikariE'1〕把Nelson方法推广到非对称
5、阻尼系统特征向量导数的计算.大部分计算非对称阻尼系统特征对导数的方法仅考虑特征对一阶导数的计算，但是，许多实际问题，如:系统参数变化较大时特征对的近似计算，结构优化中Hessian矩阵的计算等，都需要求解特征对的二阶导数.Brandon}123、FriswelIE"〕等提出的计算无阻尼系统特征对二阶导数的方法也可用于非对称阻尼系统特征对二阶导数的计算，但需要利用阻尼系统的状态空间表示形式，计算量较大.目前在n维空间中计算非对称阻尼系统特征对二阶导数的方法还很少.本文给出一种在n维空间中计算非对称阻尼系统特征对一阶、二阶导数的方法，该方法避免了状态空间中
6、特征向量的使用，节省了计算量，而且不要求系统所有特征值的互异性.本文第二节给出二次特征值问题的有关概念和性质，为以后的讨论作准备;第三节提出在n维空间中计算非对称阻尼系统特征对一阶导数与二阶导数的方法;第四节用两个非对称阻尼系统对本文方法进行数值试验，数值结果表明，本文给出的方法是有效的.为便于讨论，本文用C.X”表示秩为r的mXn阶矩阵的全体，det(A)表示矩阵A的行列式，ker(A)表示矩阵A的核空间，11·{{一表示向量的0范数，}}·II:表示向量的欧氏范数.此外，对于问题(1)，引人以下记号:D(p‘,A1%0=以+P)M(p‘)十C(p‘
7、)，几0附勺pSk(p‘，A)=A2一一a-P-报+“aca(ppk*)+aK(p’)at'k户翎，(:P‘1一"一卜一Ek(p‘，A)=2a八直+aca(ppk*)，a2M(p‘)a2C(p‘)alK(p‘)Rkt(P‘，A)=A2+又-下于厂气犷丁—，下.apkaptUPkUPtapkap,其中,a,tEC,k,tE{1,"',N}.荟2二次特征值问题的有关概念和性质定义1设M,C,KER`，与二次特征值问题(AZM+AC十K)u=0相应的矩阵M,C,K称为矩阵三元组，记作{M,C,K).(AZM十AC+K)u=0的特征值与特征向量也叫做{M,C,
8、K}的特征值与特征向量，定义2设M,C,KER"x',A是{M,C,K}的特征值，则A作为特征
