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1、视频与图像处理技术及其应用补充1图像变换版权所有：MaoY.B&XiangW.BOutlinesupplement1•图像的分解•傅立叶（Fourier）变换及其意义•Walsh/Hadamard变换•更一般的正交变换•DCT变换与霍特林变换(K-L变换)•主成分分析（PCA）图像的分解•一个一维信号可以通过下面基本函数（Haar函数）的平移和伸缩来表示⎧10当时≤t<12Ht(0,)1,=≤当时0t<1Ht(1,)=⎨⎩−≤1t当时1<12图像的分解信号的伸缩对基本信号的平移那么对于二维图像如何表示？图像的分解这样一组图像作为基图像它们是两个离散的Haar函数取外积的结果我们想分
2、解图像中的快变与慢变成分一个非常好的分解方法这种分解有一个特定的名称…JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830)•hadcrazyidea(1807):•Anyperiodicfunctioncanberewrittenasaweightedsumofsinesandcosinesofdifferentfrequencies.•Don’tbelieveit?–NeitherdidLagrange,Laplace,Poissonandotherbigwigs–NottranslatedintoEnglishuntil1878!•Butit’strue!–
3、calledFourierSeries分解为正弦函数和Asin(ωx+φ)Fourier变换f(x)FourierF(ω)TransformF(ω)=R(ω)+iI(ω)22−1I(ω)A=±R(ω)+I(ω)φ=tanAsin(ωx+φ)R(ω)反变换：F(ω)InverseFourierf(x)TransformTimeandFrequency•example:g(t)=sin(2pft)+(1/3)sin(2p(3f)t)TimeandFrequency•example:g(t)=sin(2pft)+(1/3)sin(2p(3f)t)=+FrequencySpectra•ex
4、ample:g(t)=sin(2pft)+(1/3)sin(2p(3f)t)=+FrequencySpectra•有时我们更关心频率，而忽略相位FrequencySpectra=+=FrequencySpectra=+=FrequencySpectra=+=FrequencySpectra=+=FrequencySpectra=+=FrequencySpectra∞1=A∑sin(2πkt)k=1kFrequencySpectraFT:JustachangeofbasisM*f(x)=F(ω)*=...IFT:JustachangeofbasisM-1*F(ω)=f(x)*=...
5、傅立叶（Fourier）变换及其意义•一维连续傅立叶变换+∞+∞−j2πuxj2πuxF(u)=∫f(x)⋅edxf(x)=∫F(u)⋅edu−∞−∞221/2F(u)=[Re(u)+Im(u)]−1Im(u)ϕ(u)=tg[]Re(u)傅立叶（Fourier）变换及其意义•一维离散傅立叶变换f(x)={f(x),f(x),...,f(x)}01N−1N−1F(u)=1∑f(x)e−j2πxu/NNx=0N−11j2πxu/Nf(x)=N∑F(u)ex=0,1,...,N−1;u=0,1,...,N−1u=01•三个量之间的关Δu=N⋅Δx系：傅立叶（Fourier）变换及其意义•
6、二维连续傅立叶变换+∞−j2π(ux+vy)F(u,v)=∫∫f(x,y)⋅edxdy−∞+∞j2π(ux+vy)f(x,y)=∫∫F(u,v)⋅edudv−∞221/2F(u,v)=[Re(u,v)+Im(u,v)]−1Im(u,v)ϕ(u,v)=tg[]Re(u,v)傅立叶（Fourier）变换及其意义•二维离散傅立叶变换M−1N−11−j2π(xu/M+yv/N)F(u,v)=MN∑∑f(x,y)ex=0y=0M−1N−1j2π(xu/M+yv/N)f(x,y)=∑∑F(u,v)eu=0v=0x=0,1,...,M−1,y=0,1,...,N−1;u=0,1,...,M−1,
7、v=0,1,...,N−1;二维傅立叶变换傅立叶（Fourier）变换及其意义•对下述256x256的灰度图像做傅立叶变换傅立叶（Fourier）变换及其意义•二维傅立叶变换物理意义傅立叶（Fourier）变换及其意义•二维傅立叶变换物理意义傅立叶（Fourier）变换及其意义•二维傅立叶变换物理意义傅立叶（Fourier）变换及其意义•二维傅立叶变换物理意义傅立叶（Fourier）变换及其意义••一维一维SincSinc函数函数傅立叶（Fourier）变换及其意义•
