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1、应用数学和力学,第21卷第1期(2000年1月)应用数学和力学编委会编AppliedMathematicsandMechanics重庆出版社出版文章编号:1000-0887(2000)01-0099-07X用旋量方法规划机器人运动轨迹林瑞麟(华侨大学机电工程系,福建泉州362011)(汤任基推荐)摘要:以姿态旋量描述机器人的位置姿态,在对偶空间中通过姿态旋量映射的点规划机器人的终端轨迹,具有直观、简便的独特优点· 规划中直接根据跟踪误差进行收敛,提高了轨迹运行的动态精度,并适合于冗余自由度操作器· 关 键 词:旋量方法;
2、机器人; 规划; 运动轨迹中图分类号:O22111;O18311;TH112文献标识码:A引 言轨迹规划是机器人控制问题的重要方面,根据作业要求通地轨迹序列控制点控制机器人[1]位姿轨迹· Paul首先利用齐次变换矩阵将手部在直角坐标下的位置、速度和加速度变换成[2]各关节的位移、速度和加速度,然后规划成二次平滑函数· Paul方法的计算量非常大,Taylor[3,4]采用四元数表示法改进了Paul方法· 后来Lin和Luh提出规划轨迹的3次样条函数方法,可得到优化的关节运动规律,但当轨迹中间路径点个数n较多时,此法所需
3、计算量也较大,而且缺乏时姿态插补的考虑· 在许多高精度应用场合,如切割、弧焊等不仅要求机器人位置精确,还需要在该位置具有任意确定的姿态,对外部品质的要求是很高的· 因此,必须解决机器人姿态在插补结点处相应的空间坐标,以寻求更具一般意义的位姿轨迹生成的通用算法· 本文运用旋量法来描述机器人末端夹持器在直角坐标空间中的位置和姿态对时间函数所显示的运动轨迹,由于姿态旋量的直观和简便对描述瞬时姿态有独特的优点,且计算量也小· 文中还利用速度矢量是雅可比矩阵列向量的线性组合关系,对广义坐标的速度量进行线性规划,免去了求解运动学方程,
4、并适合于具有冗余自由度的操作器· 1 机器人位姿轨迹111 姿态旋量机器人的位姿就是终端夹持器的位置和姿态· 我们可以用角位移矢量Ω来描述机器人的姿态,设ψ为基坐标系中绕瞬时轴加转的等效旋转角,K表示基系中瞬时转轴的单位向量,则角位移矢量:Ω=ψK· X收稿日期:1998-02-05;修订日期:1999-10-30基金项目:福建省自然科学基金资助项目99©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.100林 瑞 麟根据旋量定义,可以证明
5、等效角位移矢量的姿态矢量是旋量,表示为Ω^=Ω+εOP×Ω=Ω+εOD×Ω,式中,OP为用位移矢量上给定的初始点位置,基系原点O为旋量参考点· 由对偶数理论可知:三维欧氏空间中直线与三维对偶空间中的点是一一对应,于此可将直角坐标空间中的姿态旋量Ω^i映射到对偶空间,得到对应点^bi,位姿轨迹的规划问题便转化为对偶空间中由姿态旋量所映射的点^bi运动轨迹的选择问题· 112 位姿轨迹设T为机器人由起始点到结束点完成运动所需的总时间,t为分段轨迹算起的时间,令tλ(t)=(λ(t)∈[0,1])· T若在时间间隔[0,t]内,
6、机器人完成一个给定的工作,图1 姿态旋量整个工作轨迹上需计算的采样点数:N0=Int(t/T)· 姿态旋量Ω^i时应的对偶空间中的点^ai,假设沿着一连续轨迹运动0Ω^i=^f(^q)=Ωi+εSi;^q=^q[λ(t)]· ^q是λ(t)的对偶函数,写成对偶坐标形式· 0Ω^x=^f1(^q)=Ωx+εSx,iii0Ω^y=^f2(^q)=Ωy+εSy,(1)iii0Ω^z=^f3(^q)=Ωz+εSz,iii式中Ωx,Ωy,Ωz为姿态坐标分量,Ω^i的Plücker坐标(Ωi,Soi,用坐标分量的纯量形式表示为iii0
7、00(Ωx,Ωy,Ωz,Sx,Sy,Sz)iiiiii姿态矢量Ωi为瞬时转动轴上的自由矢量,只有当Pi点位置确定后,它才在轴线上唯一定0[5]位· Ωi在空间的定位可通过瞬时转动轴线上Pi的位置矢量rip给定,于此Si=rip×Ωi,将式(1)改写成行列式形式的参数方程为TΩxijkiiΩxpypzpΩ^i0=yij+εiii,(2)ΩzkΩxΩyΩziiii式中,xp,yp,zp为夹持器姿态矢量Ωi在轴线上Pi点相对于基系的坐标,式(2)就是机器人位iii姿的姿态旋量表示· 由Ωx,Ωy,Ωz确定机器人夹持器的姿态轨迹,
8、由xp,yp,zp导出其位置iiiiii轨迹,设定理想位置及姿态轨迹为xp=f1[λ(t)],iyp=f2[λ(t)];(3)izp=f3[λ(t)],i©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.用旋量方法规划机器人运动
