埃农--黑尔斯模型

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1、埃农--黑尔斯模型谢保国-03261052罗克章-03261029付雷-03261013我们已经知道，仅有两个星体相互作用的两体问题，牛顿力学能够给出完全的解析解答，然而天文学家研究的星团是包含有许多星体的星系，即使是只有三个星体的三体问题，就已经无法得到严格的解析解，甚至令人更为失望。为研究星团中的星体运动，法国天文学家埃农（M.Henon）和美国的研究生黑尔斯（C.Heiles）研究了一个简化的星体势模型。本文在这里想再现这一问题的研究和计算，并打算对混沌问题作进一步的讨论。星体势模型是：122213V=(x+y)+xy−y（1）23式中第一项弹性的二维谐振势，后面两项则是三角对称型的扰

2、动势。后来，有人在研究分子的振动能级时，也引进了这一形式的电势模型。这个势场的等势线，如图1所示。显然，这个势场给出的不是有心力，质点在该势场中运动时不存在角动量守恒积分。但由于势函数的存在，质点所受的力依旧是保守力，机械能仍然是守恒的。质点（星体）在这样的力场中如何运动？除能量积分外，是否还可能存在其他积分？这正是这个课题探求的目的。取质点的质量m=1,则质点的运动微分方程为：⎧∂Vx&&=−=−x1(+2y)⎪⎪∂x⎨（2）∂V2⎪y&&=−=y(y−)1−x⎪⎩∂y22230.5(x+y)+xy−y/3−0.5=0642y0−2−4−6−6−4−20246x图表1-势能曲线由于在z方向

3、没有力的作用，只要初速度没有z分量，质点将保持在Oxy平面内运动。埃农--黑尔斯对非线性运动方程（2）作出了著名的计算研究。我们也对此方方程组也编制了程序。采用龙格—库塔方法，在各种不同的初始条件下求解，并画出相应的庞加莱面上的相迹点。相迹点在庞加莱面上的分布与质点的能量有密切关系。实际上，由（1）式可见，能量的大小是与扰动项的大小相关的；质点的能量E可作为非线性扰动强度的参量。图2是质点在不同能量情形下，各种不同初始条件下的相轨迹在庞加莱面上分别留下的相迹点，其中（a）,(b)和（c）三幅图分别对应于三个不同质点总机械能E的数值，而每一幅图形又包含了若干个初始条件下的相轨迹交截点，现分述如

4、下：（a）E＝1/12很明显，庞加莱面上的相点可分别连成明确的闭合曲线，每一闭合曲线代表一个环面与庞加莱面的交截线。这表明在这一能量状况下每一条相轨迹都缠绕在各自的不变环面上，不变环面的存在，意味着这时埃农――黑尔斯问题除具有能量第一积外，还可能存在另外一个第一积分，原则上它应当存在解析解，虽然实际上也许难以求得。图表2-a-庞加莱截面图-能量为1/12（b）E=1/8庞加莱面上很多相迹点已不能连成闭合线，这表明那些在E=1/12时还存在的相应环面已经破坏。特别地，我们注意到，有一条原来围绕a点的椭圆状闭合线却分裂成五个小岛形的闭合线。对于那些环面已破坏的质点的运动来说，除能量积分外，不可能

5、存在第二个第一积分了。(c)E=1/6这时情况变得更糟，对应于那组“小岛”的相轨迹在庞加莱面上留下的相恋点分散，毫无规则，如图(c)所示，这时对应的不变环面不复存在质点的运动进入了无序，也即混沌状态ÅÓ¼ÓÀ³½ØÃæͼ−ÄÜÁ¿E=1/8−dy/dt−y0.50.40.30.20.10dy/dt−0.1−0.2−0.3−0.4−0.5−0.6−0.4−0.200.20.40.60.8y图表2-b-庞加莱截面图-能量为1/8ÅÓ¼ÓÀ³½ØÃæͼ−ÄÜÁ¿E=1/12−dy/dt−y0.60.40.20dy/dt−0.2−0.4−0.6−0.8−0.500.51y图表2-c-庞加莱截面-

6、能量为1/12图3中的三幅图，分别与上述a.b.c三种能量情况相应，它们是质点在特定的初始条件下分别与二维实空间中的运动轨道。（a）当E=1/12时，运动轨道是不闭合的，但作较为规则的进动，运动处于有序状态λÒÆÇúÏß0.50.60.40.2y0y0−0.2−0.5−0.4−0.500.5−0.500.5xxλÒÆËæʱ¼äµÄ±ä»¯ÇúÏß0.50.40.3R0.20.10050100150200250300350400450500t图表3--a-位移曲线-能量为1/12¶¯Á¿ÇúÏßλÒÆÇúÏß0.50.80.60.40.2Pr0y0−0.2−0.4−0.5−0.6−1−

7、0.500.51−1−0.500.51xxλÒÆËæʱ¼äµÄ±ä»¯ÇúÏß0.70.60.50.4R0.30.20.10050100150200250300350400450500t图表3-b-位移曲线-能量为1/8(b)当E=1/8时，轨道跳跃式地进动，分裂成五股，分别与图2-b中庞加莱面上五个岛几形相点对应，这是非线性动力学系统分岔现象的表现。(c)当能量增大到E=1/6，质点运动便毫无规则地“乱