麦克斯韦尔模型和开尔文模型综述

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1、麦克斯韦尔模型与开尔文模型综述1弹性力学概念和流变学的两个基本模型在流变学里,应变不与应力成简单的正比关系,这两者不是线性关系。在这里,表述应变、应力和时间三者关系的公式不再称为应力-应变关系,而称为“本构关系”。马克斯威尔模型由一个弹性元件和一个流性元件串联组成,描述具有弹性又具有流性的材料。岩石在瞬间受力条件下具有弹性,在持久力作用下具有流性,恰好可用马克斯威尔模型描述。马克斯威尔粘弹性模型中的粘性元件采用了牛顿流体模型,即线性粘性流体。牛顿流体是指受应力时产生的流动速率与应力大小成正比的材料。表述为σ=ηε（1）式(1)中σ为应力,ε为应变(流动)速率,η为比例常数,流变学

2、中称为粘性系数(模量)。式(1)可与弹性力学中一维虎克定律的形式进行比较σ=Eε（2）式(2)中ε为应变,E为比例常数,又称杨氏模量。式(2)表示材料的应变与应力成正比,与式(1)的不同就在于应变速率ε上,其中包含着时间因素。2　开尔文(Kelvin)模型简介比马克斯威尔模型(1868)晚几年,提出了开尔文模型(Kelvin,1875)。与马克斯威尔模型不同,将弹性元件a和流性元件b不是串联,而是并联,就组成了开尔文模型,如图1所示。元件a为弹簧,具有完全弹性,其应力应变关系符合虎克定律式(2),在此可写为σa=Eεa（图1开尔文模型）a为弹性元件弹簧,b为流性元件有阻尼的唧筒,

3、两者并联,σ为应力元件b符合牛顿流体条件,参照式(1)可写为σb=ηεb由于是并联,所以两元件上应力之和应等于总应力σ,有σ=σa+σb=Eεa+ηεbσ=Eεa+ηεb(3)式(3)为开尔文模型的本构关系,为深入了解开尔文模型的性质,给出一些特定情况来分析。（1）第一种情况。我们给这个模型两端突然一个应力,例如拉应力,量值为σ0并保持不变。模型的并联关系要求并联两元件的变形量要同步,弹性元件虽然有能力响应应力σ0的作用,力图达到对应的应变值,但碍于流性元件的滞后性,必须跟随流性元件的缓慢速度使变形逐渐跟上来。这个过程的应力在初始时几乎全由流性元件承担,弹性元件只承担很小的应力,

4、而随着应力保持的时间延续才逐渐增大,这样应力也逐渐由流性元件身上转移到弹性元件身上,最后完全由弹性元件承担。在这个应力条件下,模型的最终应变量是弹性元件对应这个应力的应变值,只是比单一弹性元件达到这个应变值的时间要滞后,这种现象称为滞弹性。岩石和很多材料一样,都具有滞弹性。关于岩石由开尔文模型描述的性质我们稍后解释,现在继续式(3)的推导过程。已经设定应力保持不变,故式(3)中σ=σ0=c(常数)，所以式(3)可改写为由于σ和η都是常数,还由于并联的两个元件同步变形,所以εa=εb,而且也等于模型的总应变。这样上式可以改写成只有ε为变量的形式这是一个变量为ε的一元一次常微分方程,

5、它的解是(4)式(4)中t为持续时间，马克斯威尔模型类似的方程式E和η都是代表材料性质的两个常数,岩石的E值远小于η值,但随着时间延续,括号中的第二项可以有Eηt=1的情况,或者t=ηE。在马克斯威尔模型里,称这时的t为马克斯威尔松弛时间(Maxwellrelaxtime)。在式(4)中,我们也可以称当t=ηE时为开尔文延迟时间(Kelvinretardtime),对于岩石材料,这个时间约为1011～1013s。随着时间的延续,式(4)的负指数接近负无穷大,括号内的第二项(负指数项)就接近零,这时式(4)的形式接近于这就是弹性元件在应力σ0作用下的应变值。我们可以看出开尔文模型是

6、一个滞弹性体,与马克斯威尔模型不同的是,它的应变不会随应力延续而无限地增加,用它对岩石作描述可以更真实地反映岩石的应变量不会无限地随时间延续而增加,应变达到一定值时会停止,过量的应力也会使岩石破裂。（2第二种情况。当时间延续到t1时,应变为ε1,如果此时将应力突然减为零,弹性元件虽然有立即释放全部应力的趋势,碍于流性元件不能立即恢复其已有的变形,应力只能逐渐从弹性元件上释放,变形也只能逐渐恢复。这时,由于外力已完全从模型上撤除,整个模型的复原完全是内部的功能交换过程,也称内能损耗。如果是振动变形,则是振波的阻尼衰减过程。联系到地震过程,当岩石突然破裂时,破裂面上已经不承受外力,相

7、当于应力在该处已撤除,但是破裂面两侧的位移并没立即停止,岩石内的振动也要继续一段时间,这就是地震后的余震过程。将岩石的具体参数(E、η)值代入式(4),就成为了解余震所持续时间的参考依据。式(4)中σ0/E是弹性元件对应σ0值的应变ε0,这样式(4)可改写为（5）式(5)表示模型的当前应变与可达到的弹性应变之比随应力保持时间的延续而逐渐接近1。而当突然撤去外力时,应变并不立即回零,而是逐渐逼近零。图2示出这两个过程。图2中的曲线上升段对应图2开尔文模型应变随时间的变化突然加力时应