3、．>为域。注意：域Ù为整环，且A中至少含有两个元素，且∀aA∈−{0}都有a-1∈A。2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院7域的基本性质设F是域，则有：(1)∀aFa∈⋅,000=⋅a=;(2)∀abFa,,(∈⋅−b)=(−ab)()⋅=−ab⋅;(3)∀abF,,∈−(a)⋅(−=b);ab⋅(4)∀abFnZnabanb,,,∈∀∈()(⋅=⋅=⋅)()nab;−−−111(5)∀∈−abF,{0},(ab⋅=⋅)ab;2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院8(6)（乘法消去律）：∀abFcF,,∈∀∈−{0},如果cacb
4、⋅=⋅,则ab=;(7)∀abFcdF,,∈∀∈−,{0},acbd+=⋅()adbccd+⋅⋅();nn⎛⎞(8)nkn−k∀∈∀∈abFnZab,,,()+=∑⎜⎟ab⋅;k=0⎝⎠k⎛⎞mnm⎛⎞n(9)∀∈abFij,,⎜⎟∑∑∑ai⋅⎜⎟bj=∑()abij⋅。⎝⎠iji===111⎝⎠j=12010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院9素域的定义如果域F不包含真子域，则称F为一个素域。注意：1.以素数p为模的剩余类环为一个素域；p2.有理数域也是一个素域。2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院10定理7-1：设F
5、为一个域，若F的特征是0，则F含有一个与有理数域同构的素域；若F的特征是素数p，则F含有一个与整数模p剩余类环Z同构的素域。p特别的，如果F为素域，则当ChF=0时，；F≅Q当ChF=p（p为素数）时，F≅Z。p2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院11由定理7.1知：1.每一个域的素域的结构只取决于域的特征。2.任何一个域都是Q或Z的扩域，所以若p把握了Q和Z的全部扩域，也就把握了所p有的域。2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院12扩域（扩张）：如果域K是域F的子域，则称F是K的扩域（或称扩张）。2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学
6、院13扩域F(S)：设E是域F的扩域，S为E的子集，一切同时含有S和F的E的子域的交交仍是E的子域，它是含有S和F的E的最小子域，称这个最小子域为E在F上的由S生成的扩域，也称F添加S得到的扩域，记为F(S)。2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院14定理7-2：设E为域F的扩域，S是E的一个非空有限子集，即S={α,α,…,α}，则12nFSF()=(,,αα"α)12n⎧f(,,αα"α)⎫12n=⎨fgF,[∈≠αα,,]"α,0g⎬12ng(,,αα"α)⎩⎭12n即，域F(α,α,…,α)是F上的多项式环12nF[α,α,…,α]在E中的分式域。
7、12n2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院15定理7-3：设E为域F的扩域，S是E的一个非空子集，则F()SF=∪()TTS⊆其中，T为S的任意有限子集。2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院16定理7-4：设E为域F的扩域，S是E的一个非空子集，则⎧⎫⎪⎪∀∈∈+f(,,αα"α)αα,,"αSn,Z12n12nFS()=⎨⎬⎪⎪g(,,αα"α)fgF,[∈αα,,]"α,0g≠⎩⎭12n12n2010-6-26西南交通大学信息科学与技术学院17定理7-5：设E为域F的扩域，S,S是E的两个非空子集，12则⎡⎤⎣⎦F()()(SSF==
