三次函数精减版

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1、三次函数百科名片  三次函数基本概念与性质形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,b,c,d为常数)的函数叫做三次函数(cubicsfunction)。三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线（不同于普通抛物线），具有比较特殊性。二.零点求法　　求函数的零点可用盛金公式：盛金公式或传统解法　　盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍　　三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式

2、新求根公式，并建立了新判别法。一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。　　重根判别式：　　A=b^2－3ac；　　B=bc－9ad；　　C=c^2－3bd，　　总判别式：Δ=B^2－4AC。　　当A=B=0时，盛金公式①：　　X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。　　当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：　　X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；　　X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3

3、)－(Y2)^(1/3))/(6a)，　　其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。　　当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：　　X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，　　　其中K=B/A，(A≠0)。　　当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：　　X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；　　X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，　　其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1

4、)。2.盛金判别法　　①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；　　②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；　　③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；　　④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。3.盛金定理　　当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。　　当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回

5、答：　　盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。　　盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。　　盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。　　盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。　　盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。　　盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。　　盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公

6、式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。　　盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。　　盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。　　显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。　　注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。　　盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。　　当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，

7、使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。4.传统解法　　此外，一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx

8、+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。　　一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳