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1、第2章z变换及离散时间LTI系统的z域分析2.1实验目的l学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换和z反变换；l学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点；l学会运用MATLAB分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系；l学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析。2.2实验原理及实例分析2.2.1z正反变换序列的z变换定义为（2-1）其中，符号表示取z变换，z是复变量。相应地，单边z变换定义为（2-2）MATLAB符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z变换的函数ztrans和z反变换函数iztrans，其语句格式分别为Z=ztrans(x
2、)x=iztrans(z)上式中的x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表示，可通过sym函数来定义。【实例2-1】试用ztrans函数求下列函数的z变换。（1）；（2）。解：（1）z变换MATLAB源程序为>>x=sym('a^n*cos(pi*n)');>>Z=ztrans(x);>>simplify(Z)ans=z/(z+a)（2）z变换MATLAB源程序为>>x=sym('2^(n-1)-(-2)^(n-1)');>>Z=ztrans(x);>>simplify(Z)ans=z^2/(z-2)/(z+2)【实例2-2】试用iztrans函数求下列函数的z反变
3、换。（1）（2）解：（1）z反变换MATLAB源程序为>>Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)');>>x=iztrans(Z);>>simplify(x)ans=-19/6*charfcn[0](n)+5*3^(n-1)+3*2^(n-1)其中，charfcn[0](n)是函数在MATLAB符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为。（2）z反变换MATLAB源程序为>>Z=sym('z*(2*z^2-11*z+12)/(z-1)/(z-2)^3');>>x=iztrans(Z);>>simplify(x)ans=-3+3*2^n-1/4*2^n*n
4、-1/4*2^n*n^2其函数形式为。如果信号的z域表示式是有理函数，进行z反变换的另一个方法是对进行部分分式展开，然后求各简单分式的z反变换。设的有理分式表示为（2-3）MATLAB信号处理工具箱提供了一个对进行部分分式展开的函数residuez，其语句格式为[R,P,K]=residuez(B,A)其中，B，A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量；R为部分分式的系数向量；P为极点向量；K为多项式的系数。若X(z)为有理真分式，则K为零。【实例2-3】试用MATLAB命令对函数进行部分分式展开，并求出其z反变换。解：MATLAB源程序为>>B=[18];>>
5、A=[18,3,-4,-1];>>[R,P,K]=residuez(B,A)R=0.36000.24000.4000P=0.5000-0.3333-0.3333K=[]从运行结果可知，，表示系统有一个二重极点。所以，X(z)的部分分式展开为因此，其z反变换为2.2.2系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即（2-4）如果系统函数的有理函数表示式为（2-5）那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B与A
6、分别表示的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即（2-6）【实例2-4】已知一离散因果LTI系统的系统函数为试用MATLAB命令求该系统的零极点。解：用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为>>B=[1,0.32];>>A=[1,1,0.16];>>[R,P,K]=tf2zp(B,A)R=-0.3200P=-0.8000-0.2000K=1因此，零点为，极点为与。若要获得系统函数的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为zplane(B,A)其中，B与A分别表示的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是
7、在Z平面上画出单位圆、零点与极点。【实例2-5】已知一离散因果LTI系统的系统函数为试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。解：用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为>>B=[1,0,-0.36];>>A=[1,-1.52,0.68];>>zplane(B,A),gridon>>legend('零点','极点')>>title('零极点分布图')程序运行结果如图14-1所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。图2-1零极点分布图2.2.3系统函数的零极点分布与其时域特性的关系与拉氏变换在连续系统中的作用类似，
