多元统计课程设计momo

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1、用频率法计算二重积分1蒙特卡罗模拟思想初步1.1不规则图形面积的求解给定一个不规则图形，怎样求解它的面积？这是一个比较棘手的问题。通常我们都会想到“网格法”，即将不规则图形以微小的正方形“网格”化—把不规则图形分化成多个小面积的方形，边界部分进行割补并计数：不足半格的计数为0，超过半格的为1。最后将所有的格数加起来，乘以方形面积即可。计算结果的精确度与网格的细密度直接相关。但是，网格的细化程度越高，操作起来便越不方便，如若仅靠眼睛来记录网格数目，实不为一种可取方法。那么，我们可否寻求其他方法求面积呢？

2、先看下面一个例子：古代一位智者求图形面积，他先将图形画在一块方形布上，然后将一袋装有很多大小与重量大致相同的豆子随意倒在布上面，那么落入图形里的豆子个数（重量）与总豆子个数（重量）的比值乘以方布面积就是所求图形面积（见图1）。图1从表面上看，这种方法似乎很奏效，方便简洁；从理论上，我们又该怎样解释这种方法的实用性呢？1.2蒙特卡罗模拟思想我们先来解释上面方法的合理性。我们可以这样认为：随机抛出一颗豆子，它必定落入方形中，但却未必能落入所画图形中。但是“落入图形内部”这件事必定以一定概率发生。并且图形面

3、积越大，豆子落入其中的可能性越大，“第10页共10页用频率法计算二重积分落入图形内部”这件事发生的概率也越大。不难想到概率等于图形面积与方形面积之比。我们也知道，在一定条件下，某一事件在多次试验中出现的频率可以近似看作该事件发生的概率。换句话说，我们可以用频率估计概率。现在我们将一袋豆子随机倒出，豆子总数N可看作试验次数，“落入图形内部”的豆子数n可视作事件发生的次数，很直然地就有频率为n/N，以n/N为豆子“落入图形内部”的概率，则得出上述结论。在这里，我们应该注意几点：a.应保证豆子的“随机性”，

4、如豆子本身性质（形状、重量等）应基本一致且愈小愈好；豆子抛出方向是随机的等。b.豆子的数量应该足够多。用频率估计概率有个前提条件，即试验次数足够多，越多越精确。在此，我们给出了一种与频率有关的新的计算图形面积的算法。现实中由于种种不确定因素导致计算结果不甚精确，如豆子大小影响随机性。试想，我们可否对这种现实情景进行虚拟的计算机模拟？在计算机里，豆子可由没有大小重量的随机点替代以确保随机性，随机点可由计算机尽可能多的产生以确保足够多数量，这样就可以是计算更为精确。我们称这种模拟思想为蒙特卡罗模拟思想。下

5、面提出蒙特卡罗模拟确定性模型。2蒙特卡罗模拟确定性模型2.1曲变梯形面积的近似计算原理对于图示的函数y=f(x)图像:yy=My=f(x).P(x,y)0abx图2第10页共10页用频率法计算二重积分怎样求解y=f(x)在区间[a,b]上的一段与x轴所围部分面积？这实际上就是个一重定积分的求解问题。我们可以这样做：取一个矩形（见图二），使其包含曲边梯形。由计算机产生位于矩形里的随机点，判断该点与曲线的位置关系（曲线下方或上方）；产生足够多的随机点N个，记下落入曲线下方或曲线上的点的数目n，则由大数定律

6、，当N足够大时有下列近似公式：这样就得到曲边梯形面积的近似公式：曲边梯形面积(b-a)*M*n/N2.2蒙特卡罗模拟曲边梯形面积算法：下面给出蒙特卡罗模拟曲边梯形面积算法：(1)赋初值:曲线下方点数n=0;输入模拟所需总的试验次数（即总的随机点数）N.(2)对i=1,2,…,N,执行以下三步:①产生随机数x(i),y(i);②计算f(x(i));③如果y(i)≤f(x(i)),则n=n+1;否则,转②.(3)计算曲边梯形的面积:S=(b-a)*M*n/N.3基于MontoCarlo模拟思想的二重积分求

7、解3.1问题的提出上一小节提到用蒙特卡罗模拟思想求任意区边梯形的面积，实际上也就解决了一重定积分的求解问题。那么，我们也能否根据这种模拟思想，求某个立体图形的体积呢？如果能，我们又该如何模拟呢？进一步来说，如果我们可以求得体积，那么我们就解决了二重定积分的求解问题了。3.2问题的分析第10页共10页用频率法计算二重积分同样，我们可以依照平面（二维）上的蒙特卡罗模拟，进行空间（三维）上的蒙特卡罗模拟：用一个立方体“罩住”立体图形后，计算机产生位于立方体内部的随机点，点可能落在立体图形的外部，也可能是内部

8、。然后根据落在内部的点的数目、总的随机点数目及立方体的体积得出目标立体图形的体积。由于计算机可以很好很方便地产生随机点，我们有理由相信，这将是种可行的模拟方法。3.3实例求解现在我们看具体实例。用频率法求解下列二重积分：dxdy，其中积分区域为圆域。要求给出适合的试验次数，使得误差精度以一定程度保证在0.01内，并说明其原理。3.3.1二重积分的估计值我们先用MATLAB编程绘制出二维函数z=在圆域的图像，为了便于清楚观察该曲面，我们同时给出方位角为0度