《2014考研数学笔记背诵精华》

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1、3.柯西收敛准则：数列{xn}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当m，n>N时，有

2、xm-xn

3、<ε。高等数学1.3函数的极限高中公式性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则：三角函数公式1.夹逼法则：若lim()fxlim()hxA，且存在x0的某一去心邻域和差角公式和差化积公式xx00xxsin()sincoscossinsinsin2sincosoocos()coscossinsin22Ux(,)00，使得xUx(,)，均有f(x)≤

4、g(x)≤h(x)，则lim()gxA。xx0tgtgsinsin2cossintg()222.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。1tgtg3.柯西收敛准则：函数f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0,∃>0,∀x’,x’’∈o,Ux(,)ctgctg1coscos2coscos0ctg()22ctgctg有

5、f(x’)-f(x’’)

6、<ε。coscos-2sinsin224.海涅(Heine)归结原则：lim()fxA的充要条件是：对于任何

7、满足积化和差公式倍角公式xx02tansin22sincos21tanlimxx的数列{xn}，都有lim()fxA。n0n122nnsincos[sin()sin()]cos22cos112sin22归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个1cos22sin1tan收敛于该点的自变量x的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或cossin[sin()sin()]1tan2者选出两个收敛于该点的数列{xn

8、},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}2却具有不同的极限。2121tgctgcoscos[cos()cos()]tg212tg2ctg2ctg1.4无穷小与无穷大213sin33sin4sinsinsin[cos()cos()]02cos34cos33cos若()x，当时，则称x→x0时称α(x)是β(x)的limlxxl030()x3tgtgtg31213tg半角公式高阶无穷小，记作()xo

9、(())x1cos1cos同阶无穷小，记作()xO(())xsincos2222等阶无穷小，记作()~()xx1cos1cossin常用等价无穷小tg21cossin1cosxsintanarcsinarctanxxxxe1ln(1x)~x1cos1cossinctg12ax21cossin1cos1cos~xx(1x)1~axa1~lnxa211V=SHV=SHV=H(S+SS+S)棱柱棱锥棱台x133若f(x=0)

10、,f’(0)≠0,则ftdt()f(0)x2022球的表面积：4πR球的体积：43椭圆面积：πab椭球的体积：4确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式Rabc331.5连续函数极限存在⇔左右极限存在且相等。第1章极限与连续连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.1.1集合、映射、函数左右极限至少有一个不存在。闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界

11、集，无界集，上确界，下确界1.6常见题型确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.因变量，基本初等函数泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；7.放缩法；1.2数列的极限性质：求极限limxn,就要将数列xn放大与缩小成：zn≤xn≤yn.1.（唯一性）收敛数列的极限必唯一。n2.（有界性）收敛数列必为有界数列。3.（子列不变性）若数列收敛于a，则其任何子列也收敛于a

12、。8.求递归数列的极限注1.一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。注2.若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于a，且