2013年高考数学预测新课标数学考点预测(27)：分类整合的思想方法

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1、2013年高考数学预测新课标数学考点预测（27）分类整合的思想方法《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括：函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类整合的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法、必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程

2、度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构”。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度”。“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学

3、的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。”数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。分类整合的思想方法分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总

4、区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，划分只是手段，分类研究才是目的，这种“合－分－合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.引起分类讨论的原因很多，可以是：(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、斜率的定义(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中

5、除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等.在分类讨论时要做到分类标准要统一，不重复不遗漏。1、方程、不等式、函数的类型的确定2例1．（山东文登三中2009）ax+2x−=10至少有一个正的实根的充

6、要条件是（）A．−1≤a≤0B．a≥−1C．a<−1D．a≤1分析：先确定方程的类型，需要按的取值分类，对于二次方程研究根的情况，一般要转化为二次函数和二次不等式（组）解出。12解：当a=0时，方程为2x−=∴=10x，满足。当a≠0时，ax+2x−=10至少有一个222正的实根，设fx()=ax+2x−1，当a>0时，∵f(0)=−<10，∴ax+2x−=10一定有⎧△=+44a≥0⎪一个正的实根；当a<0时，∵f(0)=−<10，∴⎨1即−≤1a<0，综上a≥−1，⎪−>0⎩a故选B答案：B评注：对于函数、方程、不等式问题，要先判断其类型，而对于二次函数

7、、二次方程、二次不等式之间常常相互转化，并借助函数的图象，得到方程或不等式（组）解出。22例2．（2008山东省泰安市）已知函数fx()=lnxax−+axa(∈R)．（1）当a=1时，证明函数fx()只有一个零点；（2）若函数fx()在区间(1,+∞)上是减函数，求实数的取值范围．分析：要证此类函数只有一个零点，就要通过求导，研究函数的单调性，求导后由于函数中含有参数，那么它的导数要与参数的取值有关，所以单调性的判断要随参数的变化而变化，需要对其去值进行分类讨论。2解：（1）当a=1时，fx()=lnx−x+x，其定义域是(0,+∞)，2212x−−x12

8、x−−x1∴fx′()=−2x+=−1令fx′()=