用弹性中心法计算对称无铰拱

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1、7.7用弹性中心法计算对称无铰拱一、弹性中心为了简化计算，采用以下两项简化措施：第一选取对称的基本结构力法方程简化为两组独立的方程，即FPFPABAB对称轴X1X3X2X2AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数d12和d21也等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一元一次方程：下面，说明如何利用刚臂来达到上述简化目的。第一步，把原来的无铰拱换成带刚臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与原来的无铰拱是等效的，可以相互代替。FPABEI=∞COAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®第二步，选取基

2、本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端O处切开。第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。副系数d12的算式如下：FPABEI=∞COFPABKCxyyysX1X1X2X2X3X3OAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®得式中，yS为刚臂长度；j为截面处拱轴切线与水平线之间的夹角，在右半拱取正，左半拱取负。xxxyyyyysKKKX1=1X1=1X2=1X2=1X3=1X3=1xjAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®令d12=d21=0，便可得到刚臂长度yS为为了形象地理解上式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则d

3、s/EI代表此图中的微面积，而式（7-14）就是计算这个图形面积的形心计算公式。由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹性中心。(7-14)如果先按式（7-14）求出yS，即确定弹性中心的位置，并将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图7-37d所示带刚臂的基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法就称为弹性中心法。ysxyydsO弹性中心AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®二、荷载作用下的计算力法方程简化为式当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时，或

4、拱高fl/5且拱顶截面高度hc>l/10时，还需考虑轴力对d22的影响。即AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔离体的平衡条件或内力叠加公式[参见单位未知力引起的内力表达式（d）]求得式中，MP、FQP和FNP分别为基本结构在荷载作用下该截面的弯矩、剪力和轴力。弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例7-14】试用弹性中心法计

5、算图7-40a所示圆拱直墙刚架的弯矩MA和MC。设EI=常数。解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因为由于荷载对称，故反对称力X3=0qqRRABCdsqdsqdssinqqdscosqqqqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本体系AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(1)求弹性中心位置qqRRABCdsqdsqdssinqqdscosqqqqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本体系AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)计算系数和自由项由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为1）在X1=1作用

6、下直、曲杆段2）在X2=1作用下曲杆段直杆段qqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本体系X2=1ysyAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®3）在荷载作用下曲杆段直杆段据此，可求得系数和自由项为qqqqysyRMPMP(曲杆段)(直杆段)qAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)求多余未知力X1和X2(4)根据叠加公式，求得AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®三、温度变化时的计算无铰拱在温度变化时，将会产生明显的内力。设图7-41a所示对称无铰

7、拱的外侧温度升高t1℃，内侧温度升高t2℃。力法计算时仍采用弹性中心法，其基本体系如图7-41b所示。由于温度变化对称于y轴，因此有X3=0，力法方程简化为（7-16）xxysfl/2l/2yy+t1℃+t1℃+t2℃+t2℃X1X1X2X2X3X3基本体系AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®主系数计算同式（7-15），自由项为(f)分别把、和、代入式（f），得于是有这表明，当全拱内外侧温度均匀改变时，在弹性中心处只有水平多余力X2。当温度升高时，X2为正方向，使拱截面内产生压力；温度降低时，X