滨州市2019版中考数学第三章函数第六节二次函数的综合应用要题随堂演练

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1、二次函数的综合应用要题随堂演练1．(2018·日照中考)如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．(1)求抛物线解析式；(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．2．(2018·莱芜中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E.(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，求线段DE长度的最大值；(3)如图2，设AB的中点为F，连接

2、CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．图1图23．(2018·自贡中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点．(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．解：(1)把点A(－1

3、，0)，B(3，0)，C(0，1)代入y＝ax2＋bx＋c得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1.(2)∵B(3，0)，C(0，1)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋1.理由：如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D.设P(x，－x2＋x＋1)，则D(x，－x＋1)，∴PD＝－x2＋x＋1－(－x＋1)＝－x2＋x，∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝PD(xB－xC)＝(－x2＋x)(3－0)＝－x2＋x.又∵S△PBC＝1，∴－x2＋x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴P1(1，)，P2(2，1)．(3)存在．如图，∵A(－1，0)，C(0，1)，∴OC＝OA＝

4、1，∴∠BAC＝45°.∵∠BAC＝∠BQC，∴∠BQC＝45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M.∵线段AC的垂直平分线为直线y＝－x，线段AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M(1，－1)，∴∠BMC＝2∠BQC＝90°.又∵MQ＝MB＝R＝，∴yQ＝－(1＋)＝－1－.∵Q在直线x＝1上，∴xQ＝1，∴Q(1，－1－)．2．解：(1)由已知得解得∴y＝－x2＋x＋3.(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴解得∴y＝－x＋3.设D(a，－a2＋a＋3)，(0

5、M，∴M(a，－a＋3)，∴DM＝(－a2＋a＋3)－(－a＋3)＝－a2＋3a.∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠COB，∴△DEM∽△BOC，∴＝.∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∴DE＝DM，∴DE＝－a2＋a＝－(a－2)2＋，∴当a＝2时，DE取最大值，最大值是.(3)假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等．∵F为AB的中点，∴OF＝，tan∠CFO＝＝2.如图，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H.①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝＝2，∴BG＝10.∵△GBH∽△BCO，∴＝＝，∴GH＝8，BH＝6，∴G(10，8)．设

6、直线CG的解析式为y＝kx＋b，∴解得∴y＝x＋3，∴解得x＝或x＝0(舍)．②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝，GH＝2，BH＝，∴G(，2)．同理可得直线CG的解析式为y＝－x＋3，∴解得x＝或x＝0(舍)．综上所述，存在D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，其横坐标是或.3．解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入函数解析式得解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.当x＝－2时，y＝(－2)2＋2×(－2)－3，解得y＝－3，即D(－2，－3)．设AD的解析式为y＝kx＋b，将A(1，0)，D(－2，－3)代入得解得∴直线AD的解析式为y＝x－1.(2)设P点坐标为(m，m－1)

7、，Q(m，m2＋2m－3)，l＝(m－1)－(m2＋2m－3)，化简得l＝－m2－m＋2，配方得l＝－(m＋)2＋，∴当m＝－时，l最大＝.(3)由(2)可知，0＜PQ≤.当PQ为边时，DR∥PQ且DR＝PQ.∵R是整点，D(－2，－3)，∴PQ是正整数，∴PQ＝1或PQ＝2.当PQ＝1时，DR＝1，此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4，∴R(－2，－2)或(－2，－4)