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1、第五章马氏(MarkovModel)与隐马氏模型(HMM)§5.1马氏模型§5.2隐马氏模型§4.1马氏模型•马氏模型•马氏链理论简介•马氏模型应用食堂就餐人数问题(I)•某大学有三个食堂A、B、C。调查显示：在食堂A就餐的人中p部分仍然回到食堂A，有p部分aaab选择食堂B，p部分选择食堂C；在食堂B就餐的ac人中p部分仍然回到食堂B，有p部分选择食堂bbbaA，p部分选择食堂C；在食堂C就餐的人中p部bccc分仍然回到食堂C，有p部分选择食堂A，p部cacb分选择食堂B；•请估计在食堂A、B、C的就餐人数。食堂就餐人数问题(II)PcaPP
2、bacbPaaABCPccPabPbcPac食堂就餐人数问题(III)•令A为第n天在食堂A就餐的人数比例n•令B为第n天在食堂B就餐的人数比例n•令C为第n天在食堂C就餐的人数比例n不动点问题(I)问题：极限是否存在？若存在，不动点问题(II)•若初值为π=(A,B,C)，并令P为上式中的0000矩阵，则•若π=(1/3,1/3,1/3)，P由下面的矩阵给出，我们可以具体计算(A,B,C)nnn不动点问题(III)nABCnABCnnnnnn10.45000.28330.2667110.55530.19470.250020.50080.245
3、80.2533120.55540.19460.250030.52610.22320.2507130.55550.19450.250040.53950.21040.2501140.55550.19450.250050.54680.20320.2500150.55550.19450.250060.55070.19930.2500160.55550.19450.250070.55290.19710.2500170.55550.19450.250080.55410.19590.2500180.55550.19450.250090.55480.19520
4、.2500190.55550.19450.2500100.55510.19490.2500200.55550.19450.2500不动点问题(IV)问题的特征•每一步活动只与当前处在什么“状态”有关，与过去的“状态”没有关系。•矩阵P特殊性：每行和为1，表示下一个时刻的状态必须在A、B、C中之一。•马尔可夫链模型，简称马氏链。离散时间随机过程•对于离散的时间t=0,1,2,3,?的每一个t对应一个随机变量ξ(ω)，我们把ξ={ξ,ξ,0t1?,ξ,?}这样一个随机变量的序列叫做离n散时间的随机过程。•所有ξ(ω)(t=0,1,2,3,?)具有公
5、共的取t值集合,我们把此集合叫做状态空间，记为S。离散时间随机过程•对于一个固定的ω,ξ(ω)={ξ(ω),ξ(ω),?,01ξ(ω),?}就是一个状态的序列,称为该随n机过程的一条轨道，我们把ξ(ω)的取值t叫做该条轨道在时间t的状态。•的联合分布称为ξ的一个有限维分布,我们用ξ的全部有限维分布刻画它的统计特性.马氏(Markov)链•随机过程{ξ:n≥0}称为有限状态马氏链，n若ξ只有有限个取值且满足n•记之为p(n,n+k)i,j•矩阵P(n,n+k)=(p(n,n+k))称为从n出发的ki,j步转移概率矩阵时齐马氏链•如果马氏链的转移矩
6、阵与出发时刻无关，即(p(n,n+k))=(p(0,k))，则称此马氏链i,ji,j是时齐的。•这时将Pi,j(n,n+k)简单地记为Pi,j(k).•通常不特别说明,马氏链就指时齐马氏链。•前面的食堂问题就是一个1步时齐马氏链。高阶马氏过程•若一个随机过程满足：也就是说随机过程下一时间的发展只和包括当前时间在内的最近的k个时间的状态有关而和这k个时间之前的历史没有关系,(其中k=0,1,2,?)，我们把这样的随机过程叫做k－阶马氏链。零(1)阶马氏过程•显然零阶马氏链就是说下一时间的发展和当前状态及已有历史都独立，也就是相互独立的随机序列(过
7、程)。•1-阶马氏链就是前面的马氏链.关于名称的一点说明•参考书中，看到马氏链(过程)的时候要根据上下文进行判断。有的时候是指普遍的马氏链(包括高阶、一阶、零阶)，有时候特指一阶马氏链。•在大多数情况下，如不特别说明，通常是特指一阶时齐的马氏链。•如果将一个k-阶马氏链的相邻k个时间的状态合为一个新的状态:y=(x,x,?,x)，则nnn-1n-k+1{y}是一个1-阶马氏链。n转移概率矩阵性质•其中第三个方程称之为C－K方程时齐马氏链性质(I)•时齐马氏链由转移概率矩阵和初分布完全确定，设转移概率矩阵为P=(p)，初始分ij布：，则时齐马氏链
8、性质(II)•若记μ(n)=P(ξ=i),μ(n)=(μ(n):i∈S)，即所谓ini绝对概率，则：马氏链的不变分布•状态空间S上的一个概率分布π=(
