Black-Scholes公式

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1、Black-ScholesBlack-Scholes公式公式www.mathstown.com南开大学数学科学学院白晓棠多时期二项模型考虑一个有n个交易时间段的股票期权，设每个时间段的名义利率均为r。用S(0)表示股票的初始时刻价格，S(i)表示股票在第i个时刻的价格，其中i=1,…,n。假设S(i)的取值只可能是uS(i-1)或dS(i-1)，其中d<1+r

2、1)我们可以把随机向量(X,X,…,X)看作是试验结果。由套12n利定理知，为了不存在套利机会，在这个结果集上必存一个使得所有的赌博都是公平的概率测度。即存在一个率集合P{X=x,…,X=x},x=0,1,i=1,…,n11nni使得所有的赌博都是公平的。NankaiUniversity多时期二项模型考虑下面的赌博：选定一个i(i=1,…,n)和一个向量(x,…,1x)，该向量的每个元素取值为0或1.i-1观察前个时间段股价的变化，如果对每个j(j=1,…,i-1)都有，X=x那么就立刻购买一个单位股票并在下一时刻将jj其卖出。若我们在i-1

3、时刻购买股票将花费S(i-1)，下一时刻股票上涨则卖出得uS(i-1)，现值为(1+r)-1uS(i-1)；下一时刻股票下跌则卖出得dS(i-1)，现值为(1+r)-1dS(i-1)。NankaiUniversity多时期二项模型若令P{XxXx,,}11ii11为股票被购买的概率，并且令pPX{1

4、Xx,,Xx}ii1111i为一只股票在下一时间段价格上涨的概率，那么这种赌在i-1时刻的期望收益为：pp(1)[uSi(1)dSi(1)Si(1)]11rrNankaiUniversity多时期二项模型

5、若无套利产生，上述期望值应为0，于是pu(1pd)111rr解得：1rdpud这就是无套利的风险中度概率。NankaiUniversity对数正态随机变量设Y是一个随机变量，若ln(Y)服从均值为μ，方差为σ2的正态分布，则称Y为以μ和σ为参数的对数正态随机变量。即如果Y为对数正态的，则它可以表示为Y=eX，其中X~N(μ,σ2)可以证明2EY()e222222222VarY()eee(e1)NankaiUniversity几何布朗运动前面我们曾经讲过，若随机变量Y为以为参数的对数正态随

6、机变量，则2EY()e2若已知证券的初始价格为S(0)，时刻t价格的期望值仅依赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于S(t)我们有2t()ESt[()]e2S(0)NankaiUniversity几何布朗运动用Δ表示一个小的时间增量，并假定，在每个Δ时间单内，证券的价格或者以概率p增长u倍，或者以概率（1-p）下跌d倍，其中ue,,de1p(1)2当Δ取得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应价格集就近似为一个几何布朗运动。NankaiUniversityContents1Black-Scholes公

7、式2公式的推导3公式的应用4公式的性质NankaiUniversityBlack-Scholes公式考虑一个执行价格为K、到期日是t的某证券欧式看涨期权。假设名义利率是连续复利利率r，而且这种证券的价格变化过程服从漂移参数为μ、波动参数为σ的几何布朗运动。在这些假设条件下，上述期权的唯一无套利价格是多首先令S(y)表示标的证券在时刻y时的价格。NankaiUniversityBlack-Scholes公式由于{S(y)，0≤y≤t}服从漂移参数为μ、波动参数为σ的几何布朗运动，作为该模型的n阶近似，我们可以假设每过t/n个单位时间，证券的价格就

8、会变化一次；它的新价格或者等于旧价格乘以因子tn/1ue,(概率为p1tn/)2或者等于旧价格乘以因子tn/1de,(概率为1-p1tn/)2NankaiUniversityBlack-Scholes公式这个n阶近似模型是一个n阶二项模型。这个二项模型里每一个时间段t/n后的价格要么上涨为原来的价格乘上系数u，要么下跌为原来的价格乘上系数d。故如果令1/若（SitnuSitn）（(-1)/）Xi0/若（SitndSitn）（(-1)/）在这个n阶近似模型里，唯一能够使得所有购买这种证券的赌博都公平的概率就是使

9、得诸X都相互独立，且itn/1/rtnd1/rtnePX{1}