全国大学生力学竞赛-材料力学冲刺

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1、材料力学竞赛训练（2）一、简化问题二、平衡与叠加三、结构的失效模型简化数学简化物理事实简化对称结构简化整体平衡局部平衡叠加原理及其应用构件的失效训练内容危险截面和危险点组合结构的失效四、变动荷载问题变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的最不利位置利用极值性质确定最不利位置临界点、临界线以及它们所界定的区域五、极值和优化问题利用函数导数求极值张量的极值就是其主值利用极值出现处的性质和特点求极值结构的优化基础性概念和基本方法六、非线性问题七、能量方法八、应变的测量物理非线性几何非线性稳定问题互等定理温度荷载问题动荷载问题非线性问题应变测试原理常用测试方法五、极值和优化问题利用函

2、数导数求极值提示利用函数导数求极值的关键，是明确自变量和目标函数，并建立目标函数与自变量之间的函数关系。一般可以直接利用目标函数的物理意义来确定所求出极值是极大或极小。大多数情况下不必通过二阶导数确定极值的性质。由于在许多情况下是在有限区间内讨论问题的，因此应注意区间两端点处的函数值是否可能构成极值。如果函数是线性的，那么极值一定出现在所讨论的区间的两个端点处。RRR例圆形横截面对称地去掉最上下部份，有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系数为最大的角度。圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和。三角形对水平对称轴的惯性矩I1bhCK直角三角形对

3、于过形心的C轴的惯性矩。R例圆形横截面对称地去掉最上下部份，有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系数为最大的角度。圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和。三角形对水平对称轴的惯性矩扇形对水平对称轴的惯性矩Rr例圆形横截面对称地去掉最上下部份，有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系数为最大的角度。圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和。三角形对水平对称轴的惯性矩扇形对水平对称轴的惯性矩RrRrR圆台关于水平对称轴的惯性矩抗弯截面系数圆台关于水平对称轴的惯性矩抗弯截面系数RrRR抗弯截面系数未切前抗弯截

4、面系数五、极值和优化问题利用函数导数求极值利用极值出现处的性质和特点求极值提示函数在某点处取极值，那么在这一点处函数的导数为零。若函数是挠度，则意味着该点转角为零。例如图的简支梁中，BC段为刚体。AC段的抗弯刚度为EI，求梁中的最大挠度。qLBALC梁的变形如图。先求支反力。最大挠度必产生于AC之间。qBACqBAC3qL/4qL/4qBAC3qL/4=0qL/4将原结构视为两段悬臂梁。qBAC3qL/4xqL/4qBAC3qL/4LLxqL/4qBAqL/4LxqL/4LqL2/4例如图的简支梁中，BC段为刚体。AC段的抗弯刚度为EI，求梁中的最大挠度。梁的变形

5、如图。先求支反力。最大挠度必产生于AC之间。将原结构视为两段悬臂梁。qBAqL/4LxqL/4LqL2/4qBAqL/4LxqL/4LqL2/4由可解得故有最大挠度qBACwmax提示简支梁问题的求解，可以在极值点处分解为两个悬臂梁来进行分析。五、极值和优化问题利用函数导数求极值结构的优化利用极值出现处的性质和特点求极值提示优化的结构，应使结构的各部份的强度、刚度和稳定性都得到充分的利用。在强度问题中，优化的结构应尽量使结构中各构件（或构件中的各个部份）的危险点应力同时达到许用应力。例如图的混凝土梁单位长度的重量为q。为了便于运输，可在梁上预埋吊钩。吊钩位置应在何处

6、？如何正确吊装以避免梁开裂？L吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。aLaqLBAaaCD弯矩的峰值出现在C、D截面。例如图的混凝土梁单位长度的重量为q。为了便于运输，可在梁上预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如何正确吊装以避免梁开裂？吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。弯矩的峰值出现在C、D截面。qLBAaaCDqLBAaaCD考察C、D截面的弯矩与a的函数关系。MaMqL28L4L2aqL28MCMqL28L4L2aqL28MCMDMqL28L4L2aqL28MCMDM

7、DMqL28L4L2aqL28MCMDMD只有C、D截面弯矩的绝对值相等，才能使最大绝对值弯矩为最小。qLBAaaCD为了避免产生附加的弯矩，在吊装时可考虑采用辅助吊杆。提示当某个参量同时决定两个函数，且这两个函数处于此长彼消的态势时，这两个函数值的交点往往就是极值点。MqL28L4L2aqL28MCMDMD分析和讨论qLAB梁的横截面为矩形，两支座怎样移动，才能使梁的承载能力为最大？6030梁的横截面如图，两支座怎样移动，才能使梁的承载能力为最大？例如图承受均布荷载的梁由三个相通的油缸支承。为使梁中弯矩为最小，油缸的直径比应为多少？