【数学】2010高考二轮复习数学学案(16)导数及其应用

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1、淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ:651895189E-mail:651895189@qq.com导数及其应用【学法导航】导数是高中数学中较为重要的知识,由于其应用的广泛性,为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法,是解决实际问题强有力的工具。导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的对象。要牢记导数公式,熟练应用导数公式求函数的导数,掌握求导数的方法。导数的应用是高考考查的重点和难点,题型既有灵活多变的客观性试题,又有具有一定能力要求的主观性试题,这要求我们复习时要掌握基本题型的解法,树立利用导数处理问题的意识.所以在复习中要重

2、点把握以下几点:一是导数的概念及其运算是导数应用的基础,这是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义;二是导数的应用,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等,已成为高考热点问题.三是应用导数解决实际问题.【专题综合】导数是高中数学知识的一个重要的交汇点,命题范围非常广泛,为高考考查函数提供了广阔天地,处于一种特殊的地位,高考命题在利用导数工具研究函数的有关性质,把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时,进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明,是函数知

3、识和不等式知识的一个结合体,它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法,突出了对能力的考查.1.利用导数处理方程问题392例1(2009江西卷文)设函数fx()=x−x+6xa−.2(1)对于任意实数x,fx′()≥m恒成立,求m的最大值;(2)若方程fx()=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.'2解:(1)fx()=3x−9x+=63(x−1)(x−2),'2因为x∈−∞+∞(,),fx()≥m,即3x−9x+(6−m)≥0恒成立,33所以∆=8112(6−−m)≤0,得m≤−,即m的最大值为−44''(2)因为当x

4、<1时,fx()>0;当12时,'fx()>0;5所以当x=1时,fx()取极大值f(1)=−a;2当x=2时,fx()取极小值f(2)=−2a;故当f(2)>0或f(1)<0时,方程fx()=0仅有一个实根.解得a<2或欢迎各位老师踊跃投稿,稿酬丰厚邮箱:zxjkw@163.com第1页共8页淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ:651895189E-mail:651895189@qq.com5a>.22利用导数研究函数的图像变化规律3例3(2009陕西卷文)已知函数fx()=x−3ax−1,a≠0(Ι)求fx()的

5、单调区间;(ΙΙ)若fx()在x=−1处取得极值,直线y=m与y=fx()的图象有三个不同的交点,求m的取值范围。'22解析:(1)fx()=3x−3a=3(x−a),'当a<0时,对x∈R,有fx()>0,当a<0时,fx()的单调增区间为(−∞+∞,)'当a>0时,由fx()>0解得x<−a或x>a;'由fx()<0解得−a0时,fx()的单调增区间为(−∞−,a),(a,+∞);fx()的单调减区间为(−a,a)。(2)因为fx()在x=−1处取得极大值,'2所以f(1)−=×−3(1)−3a=∴=0,a1.3'2所以fx(

6、)=x−3x−1,fx()=3x−3,'由fx()=0解得x=−1,x=112由(1)中fx()的单调性可知,fx()在x=−1处取得极大值f(1)1−=,在x=1处取得极小值f(1)=−3因为直线y=m与函数y=fx()的图象有三个不同的交点,又f(3)−=−19<−3,f(3)171=>,结合fx()的单调性可知,m的取值范围是(3,1)−欢迎各位老师踊跃投稿,稿酬丰厚邮箱:zxjkw@163.com第2页共8页淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ:651895189E-mail:651895189@qq.com3.利用导数证明不等式2例3(20

7、07年山东卷理)设函数fx()=x+bln(x+1),其中b≠0.1(I)当b>时,判断函数fx()在定义域上的单调性;2(II)求函数fx()的极值点;111(III)证明对任意的正整数n,不等式ln(+1)>−都成立.23nnn2解:(I)函数fx()=x+bln(x+1)的定义域为(−+∞1,).2b2x+2xb+fx'()=2x+=,x+1x+12⎛1⎞⎛1⎞令gx()=2x+2xb+,则gx()在⎜−,+∞⎟上递增,在⎜−−1,⎟上递减,⎝2⎠⎝2⎠1111gx()=g(−)=−+b.当b>时,gx()=−+>b0,minmin2222

8、2'gx()=2x+2xb+>0在(−+∞1,)上恒成立.∴fx()>0,1即当b>时,函数fx()在定义域(−+∞1,)上单调递增。2

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