二次函数中考题整理

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1、26．如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．)，B(．4)．将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)抛物线上一动点P．设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d1=d2+1；(3)在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时．△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。考点：二次函数综合题分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把点B（-4，4）的坐标代入，即可求出抛物线的解析式；容易证得Rt△BA

2、E≌Rt△ACD，根据全等三角形的对应边相等，分别求出AD、DC的长，便可求出点C的坐标。（2）作辅助线构建Rt△PAF，）设P点坐标为（a，b），因点P在抛物线上，所以可以把b表示为b=1/4a2，再分别把线段PF、AF用含字字母a的代数式表示出来，在Rt△PAF中，利用勾股定理，便可证得d2=d1+1；（3）利用问题（2）的结论，有△PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，当C、P、H三点共线时，PC+PH最小，此时P点的横坐标应为3，通过代入便可求出点的P的纵坐标与△PAC的周长的最小值

3、。∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=1/4x2，得到y=9/4，即P点坐标为（3，9/4），此时PC+PH=5，∴△PAC的周长的最小值=5+6=11解答：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，∵抛物线经过点B（-4，4），∴4=a•42，解得a=1/4，所以抛物线的解析式为：y=1/4x2；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，∴Rt△BAE≌Rt△ACD，∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，∴OD=AD+OA=5，∴C点

4、坐标为（3，5）；（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，∵点P在抛物线y=1/4x2上，∴b=1/4a2，∴d1=1/4a2，∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=1/4a2-1，PF=a，在Rt△PAF中，PA=d2===1/4a2+1∴d2=d1+1；（3）过C点作x轴的垂线，交抛物线于P点，则P即为所求的点．由（1）得AC=5，∴△PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入

5、y=1/4x2，得到y=9/4，即P点坐标为（3，9/4），此时PC+PH=5，∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．点评：本题以二次函数为背景，结合图形旋转，求函数的二次函数的解析式，三角形全等的判定，勾股定理，两点之间线段最短，乘法公式与因式分解等知识点，难点在于把这些知识点综合起来运用解决相关的数学问题。2013年26．（11分）（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C

6、三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首

7、先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．（3）抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式．解答：解答：（1）根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．抛物线经过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），则有：，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3．

8、（2）存在．△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：①以点A为直角顶点．如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，﹣1）．设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，﹣1）的坐标代入得：，解得k=1，b=﹣1，∴y=x﹣1．将y=x﹣1代入抛物线解析式y=x2+2x﹣3得，x2+2x﹣3=x﹣1，整理得：x2+x﹣2