2013届高三数学专题复习——轨迹方程的求法

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1、轨迹方程的几种常见求法1直接法：把题的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等【例1】已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.解：建立坐标系如图所示，设

2、AB

3、=2a,则A(－a,0）,B(a,0).设M(x,y)是轨迹上任意一点.则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)当λ=1时，即

4、MA

5、=

6、MB

7、时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴

8、).(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0.点M的轨迹是以(－，0)为圆心，为半径的圆.【例2】某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？（直接法）解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则

9、PA

10、+

11、PO

12、=1+r+1.5－r=2.5∴点P在以A、O为焦点，长轴

13、长2.5的椭圆上，其方程为=1①同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x－)2+y2=1②由①、②可解得，∴r=故所求圆柱的直径为cm.2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．8例1双曲线的两焦点分别是、，其中是抛物线的焦点，两点A（-3，2）、B（1，2）都在该双曲线上．　　（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并指出其轨

14、迹表示的曲线．解：（1）由得，焦点（-1，0）．　（2）因为A、B在双曲线上，所以，．①若，则，点的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当y＝0时，与重合；当y＝4时，A、B均在双曲线的虚轴上．故此时的轨迹方程为x＝-1（y≠0，y≠4）．②若，则，此时，的轨迹是以A、B为焦点，，，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为，（y≠0，y≠4）　故的轨迹是直线x＝-1或椭圆，除去两点（-1，0）、（-1，4）例2已知ΔABC中，ÐA,ÐB,ÐC所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，

15、AB

16、=2,求顶点C的轨迹方程解

17、：

18、BC

19、+

20、CA

21、=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2,短轴长为2,∴椭圆方程为,又a>b,∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,因此点C的轨迹方程是：(─2

22、得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程，。由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，8∴，，∴，，∴，∴圆心轨迹方程为。3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例1　已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA

23、=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．例2．双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。解：设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴∴已知两焦点为，∵存在，∴由三角形重心坐标公式有，即。∵，∴。已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有4.参数法：参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数

24、提供的信息，顺利地解答问题。若动点P（x，y）的坐标x8与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．例1已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；解设P