全国卷二 1612 数学（理）

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1、2016~2017学年高三年级综合能力测试（CAT）（一）理科数学（全国卷2）参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）（1）C（2）D（3）A（4）B（5）C（6）C（7）B（8）A（9）B（10）D（11）C（12）B二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）（13）（14）（15）丙、甲、乙（16）3三、解答题（共70分）（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：当时，，又，所以………………2分当时，即，……………………4分则所以是等比数列.……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知……………………7分……………………9分高三数学（理）试题答案第9页

2、共9页所以……………………12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以又因为，所以平面所以因为，，所以因为,所以面因为平面所以平面⊥平面…………………………5分（Ⅱ）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则.所以，,,………6分设平面的一个法向量，则，.高三数学（理）试题答案第9页共9页所以令，则.所以平面的一个法向量.…………………………8分设平面的一个法向量，则，.所以令，则.……………10分所以平面的一个法向量.所以.…………………………11分由图可知，二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.…………………………12分（19）（本

3、小题满分12分）解：（Ⅰ）甲城市去年上半年的平均气温比乙城市低；乙城市去年上半年的月平均气温比甲城市上半年的月平均气温波动大（答案不唯一）.………………………3分（Ⅱ）甲城市上半年的平均气温为（）设“从甲城市的月平均气温中随机抽取一个数，此数大于该城市上半年的平均气温”为事件，基本事件空间为，共有6个基本事件，事件包含17，17，18，22这4个基本事件，则.………………7分（Ⅲ）设“从甲、乙两城市不低于16的月平均气温中随机抽取一个数，这两个数值相等”为事件，高三数学（理）试题答案第9页共9页基本事件空间为，共有个基本事件，.………………10分事件包含这两个基本事

4、件，则..………12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆的短轴长为，所以.因为椭圆的离心率为，设焦距为，则，即，而，所以.所以椭圆的方程为.…………………………3分（Ⅱ）（1）先证菱形对角线的交点是坐标原点.设菱形对角线交点的坐标为，设，则.将分别代入椭圆方程得①，②由①-②可得，即③，同理可得④………………………5分当对角线垂直于轴时，垂直于轴，则，，由③得，高三数学（理）试题答案第9页共9页再由，，由④得，所以对角线交点为坐标原点.同理可证对角线垂直于轴时，对角线交点为坐标原点.当对角线不垂直于轴，不垂直于轴时，设的斜率为，则的斜率为，由③得⑤，由④

5、得⑥，由⑤⑥可得.所以菱形对角线交点为坐标原点.………7分（2）下面证明菱形的高为定值.设原点到边的距离为，则菱形的高为.当两条对角线分别为长轴、短轴时，易求得，则.………9分当两条对角线均不在坐标轴上时，因为，所以.设菱形的一边所在直线的方程为，代入椭圆的方程，得，，且，.所以，，，，化简得……………………11分则原点到直线：的距离高三数学（理）试题答案第9页共9页，则.综上，菱形的高为定值.………………………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）的定义域为，令.因为，则.所以存在两不等实根.………………………2分设的两根为，且.因为，，所以.因为，所以.因

6、为，所以.所以，或.又因为，所以.………………………4分与随的变化情况如下：高三数学（理）试题答案第9页共9页↗极大值↘极小值↗由上表可知，即函数在定义域上不小于的极小值点.………………………6分（Ⅱ）当时，，则.所以在区间内，，函数无零点.…………………8分由（Ⅰ）可知，在区间上，函数单调递减，在区间内，单调递增.因为，所以.因为，所以.又因为，所以函数在区间只有一个零点.综上所述，函数在定义域上只有一个零点.………………………12分【选做题】（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程高三数学（理）试题答案第9页共9页解：（Ⅰ）因为，所以圆C1的极坐

7、标方程为，圆C2的极坐标方程为.……5分（Ⅱ）所以圆C1与圆C2交点的坐标为…………………10分(注：极坐标系下点的表示不唯一)（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当时ⅰ）当时，由ⅱ）当时，由得：ⅲ）当时，由得：综上可知，不等式的解集是.……………………6分（Ⅱ）所以的单调递减区间是，单调递增区间是高三数学（理）试题答案第9页共9页所以的最小值是……………………10分高三数学（理）试题答案第9页共9页