广义系统的圆度和圆度的计算公式

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1、广义系统的圆度和圆度的计算公式TheRoundnessandtheFormulatoCalculatetheRoundnessforGeneralizedSystems冯向军XiangjunFeng200820082008年年年年6666月月月月9999日初稿日初稿20082008年2008年年年8888月月月月17171717日修订日修订[[[摘要[摘要]]]：]：：：本文给出了广义系统圆度的一般表达式并对推导过程作了详细解说本文给出了广义系统圆度的一般表达式并对推导过程作了详细解说。。。。1平平平等遍历性的图形表达平等遍历性的图形表达、、、圆度和分布

2、函数的极坐标表示法、圆度和分布函数的极坐标表示法一般而言，所谓平等遍历性就是在各广义方向上保持某种不变性的性质。圆就具备平等遍历性。在极坐标系下圆在任意极角方向上都保持极径不变。所以我们把平等遍历性又称为圆性，而把刻画圆性的圆满程度的参数称为圆度。假如我们用极角theta表示广义方向或广义集合的标志值，而用极径表示规格化的概率分布或权重分布，那么我们就得到了分布函数的极坐标表示法。显然具有平等遍历性的广义集合其分布在极坐标下就表现为一个圆。本节要展示多种分布函数的极坐标表示法(如下面的图形所示)。图一、具有平等遍历性的广义集合其分布在极坐标下的图形表达。

3、图二、用极坐标下表达指数分布r=exp(-belta*theta)。图三、用极坐标下表达幂分布r=theta^(-alpha)。图四、用极坐标下表达正弦分布r=

4、sin(2兀f*theta)

5、，f=1E-4。图五、用极坐标下表达正弦分布r=

6、sin(2兀f*theta)

7、，f=1E-3。2广义系统圆度的一般表达式(q−)11qqq(q−)1广义系统的圆度=n1(−p−p−...−p)=nTsallis广义熵(1)12n(q−)1这其中n为广义集合标志值的种类数，q为不等于1的实数，p为广义集合第i个标志值i的概率或权重，i=2,1,...n，p+p+..

8、.+p=1。12n当q=2时，广义系统的圆度=(n−)1-广义集合各标志值概率的两两平方距离的和(2)当q→1时，广义系统的圆度=香侬信息熵=−plog(p)−plog(p)−...−plog(p)(3)1122nn3关于圆度新公式推导过程的一种较为清晰的解释3.1在<<组成论随想录>>中[1]，我引入了平均概率P的概念，所谓平均概率就是指概率自身的avg统计平均值。P=pp+pp+...+pp(4)avg1122nn我发现平均概率P是个反映广义集合聚集度、不平等度、不圆度的物理量。当广义集合某一avg标志值的概率为1而其余为0时，平均概率P达最大值1，

9、这时广义集合聚集度、不平等avg度、不圆度都是最大的。因此我自然联想到C1(−pp−pp−...−pp)1122nn是个能反映广义集合分散度、平等度和圆度的物理量，这其中C是待定常量。3.2在探索中我发现当C=n时，n1(−pp−pp−...−pp)具有十分明确的物理意义，1122nn它在数学上等于(n−)1−广义集合各标志值概率的两两平方距离的和(我曾把后者定义为广义系统的圆度。[2])。也就是说我们证明了n−1n2n1(−p1p1−p2p2−...−pnpn)=(n−)1−∑∑(pi−pj)(5)i=1j=i+13.31qqq考虑到著名的Tsalli

10、s广义熵=1(−p−p−...−p)[3],我惊奇地发现[4]12nq−1广义系统的圆度=n(Tsallis广义熵)

11、(q=)23.4现在将平均概率推广为概率的(q−)1阶矩Pm，(q−)1(q−)1(q−)1P=(pp+pp+...+pp)m1122nn不难发现P也是个描述广义集合聚集度、不平等度、不圆度的物理量。m当广义集合某一标志值的概率为1而其余为0时，P达最大值1，这时广义集合聚集度、m不平等度、不圆度都是最大的。因此我又自然联想到qqqC1(−P)=C1(−p−p−...−p)1m112n也是一个能反映广义集合分散度、平等度和圆度的物理量，

12、这其中C是待定常量。13.5考虑到当广义系统圆度最大时−(q−)1−(q−)1(q−)1C1(−P)=C1(−n)=Cn(n−)11m11(q−)1因此我选择C=n而使得括号外的项归一。就有1(q−)1qqqC1(−P)=n1(−p−p−...−p)1m12n再考虑到当q→1时1qqq1(−p−p−...−p)=−plog(p)−plog(p)−...−plog(p)=香侬信息熵12n1122nnq−1而我巴不得圆度公式能包含香侬信息熵，所以就定义广义系统圆度的一般表达式为C11(−Pm)(q−)1广义系统的圆度(Roundness)==n(Tsalli

13、s广义熵)。(q−)14关于一个重要陈述的数学证明重要陈述：当q=2时，广义系统