高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算同步学案

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1、3.2.2　复数代数形式的乘除运算学习目标　1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.3.理解并掌握共轭复数的性质及应用．知识点一　复数的乘法及运算律思考　请你探究in(n∈N*)的取值情况及其规律．答案　in(n∈N*)的取值只有i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈N.梳理　(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c

2、＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3知识点二　共轭复数思考　当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？答案　当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数，且有z·＝

3、z

4、2＝

5、

6、2.事实上，若z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z·＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2.梳理　(1)共轭复数的概念一般地，当两个复

7、数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．z的共轭复数用表示．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.(2)共轭复数的性质①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．②实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．③若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．④a.z·＝

8、z

9、2＝

10、

11、2；b.

12、z

13、＝

14、

15、；c.z＋＝2a，z－＝2bi(z＝a＋bi，a，b∈R)．知识点三　复数的除法法则1．复数的除法法

16、则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则＝＝＋i.复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.2．实数的平方根设a∈R，当a＝0时，a的平方根为0；当a>0时，a的平方根是两个实数±；当a<0时，a的平方根是两个共轭纯虚数±i.3．虚数的平方根设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，x＋yi(x，y∈R)是z＝a＋bi的平方根，则有(x＋yi)2＝a＋bi，即x2－y2＋2xyi＝a＋bi，所以有解方程组求出x，y的

17、值即可．1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减．(　√　)2．两个共轭复数的和与积是实数．(　√　)3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　×　)类型一　复数的乘、除法运算命题角度1　复数乘、除法基本运算例1　(1)i(1－i)2的值等于(　　)A．－4B．2C．－2iD．4i(2)若复数z满足(1－z)(1＋2i)＝i，则在复平面内表示复数z的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(3)若复数z满足(1＋i)·z＝2i(i为虚数单位)，则复数z＝________.考点　复数的

18、乘除法运算法则题点　乘除法的运算法则答案　(1)B　(2)D　(3)1＋i解析　(1)i(1－i)2＝i(－2i)＝2.(2)由(1－z)(1＋2i)＝i，得z＝1－＝＝＝－i，在复平面内表示复数z的点的坐标为，位于第四象限．(3)z＝＝＝＝1＋i.反思与感悟　(1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．③(1±i)

19、2＝±2i.跟踪训练1　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．考点　复数的乘除法运算法则题点　利用乘除法求复数中的未知数答案　2解析　因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.(2)已知复数z满足(z＋2)＝4＋3i，求z.解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.得解得或所以z＝－i或z＝－i.命题角度2　复数乘除法的灵活运算例2　计

20、算下列各式：(1)i2016＋(＋i)8－50；(2)6.考点　复数的乘除法运算法则题点　乘除法的运算法则解　(1)原式＝i4×504＋[2(1＋i)2]4－25＝1＋(4i)4－i25＝257－i.(2)原式＝2＝2＝(－1)2＝1.反思与感悟　复数四则运算的解答策略(1)复数的加法、减