2018_2019版高中数学第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法学案新人教a版

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1、一　数学归纳法学习目标　1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题．知识点　数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．思考1　试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案　①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．思考2　由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案　适合解决一些与正整数n有关的问题．梳理　

2、数学归纳法的概念及步骤(1)数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．(3)数学归纳法的基本过程类型一　用数学归纳法证明等式例1　用数学归纳法证明＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N＋

3、)．证明　(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即＋＋…＋＝1－.当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝1－＋＝1－，即当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，原等式对n∈N＋均成立．反思与感悟　利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．跟踪训练1　用数学归纳法证明1＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(

4、n∈N＋)．证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝.当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝.所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．类型二　证明与整除有关的问题例2　求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．证明　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k

5、能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立．反思与感悟　利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n＝k时的情

6、形，从而利用归纳假设使问题得证．跟踪训练2　用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．证明　(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋

7、3)．因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即当n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)知，命题对一切n∈N＋成立．类型三　用数学归纳法证明几何命题例3　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．证明　(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，即k个

8、圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以当n＝k＋1时，命题成立．综合(1)(2)可知，对一