矩阵基础及多元线性回归模型

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1、矩阵代数概述1矩阵(matrix)就是一个矩形数组。mn矩阵就有m行和n列。m称为行维数，n称为列维数。可表示为：矩阵2方阵：具有相同的行数和列数的矩阵。一个方阵的维数就是其行数或列数。行向量：一个1m的矩阵被称为一个(m维)行向量。列向量：一个n1的矩阵被称为一个(n维)列向量。方阵、行向量、列向量3对角矩阵、单位矩阵和零矩阵对角矩阵单位矩阵零矩阵4矩阵的运算加法：数乘：两矩阵相乘：A为mn阶矩阵B为np阶矩阵5矩阵运算的性质（1）和是实数，矩阵A、B、C具有运算所需的维数6矩阵运算的性质（2）和是实数，矩阵A、B、C具有运算所需的维数7矩阵A的行与列互换

2、称为A的转置矩阵，用A’表示矩阵的转置、对称矩阵转置矩阵的性质：x是n1维向量一个方阵A是对称矩阵的充要条件A=A’8对任意一个nn的矩阵A，A的迹tr(A)定义为其主对角线元素之和。迹的性质：迹其中，A为nm矩阵，B为mn矩阵9对一个nn的矩阵A，如果存在矩阵B，使得BA=AB=In则称B为矩阵A的逆，用A-1表示。如果A有逆矩阵，则称A是可逆的或非奇异的；否则，称A是不可逆的或奇异的。矩阵的逆10(1)如果一个矩阵的逆存在，则它是唯一的(2)若0且A可逆，则(3)如果A和B都是nn可逆矩阵，则(4)矩阵逆的性质11给定一个nn的方阵，A的行列式，记为

3、A

4、

5、，定义为：

6、A

7、=(-1)ta1p1a2p2…anpn其中，t为p1p2….pn的逆序数。矩阵的行列式12例：求下列矩阵A的行列式因此，

8、A

9、=21-4+16-10+15-42=-4解：根据行列式定义，可得：13求方阵的逆矩阵（1）余子式：将nn的方阵A的第i行和第j列去掉，所剩下的子矩阵的行列式叫做元素aij的余子式，记为

10、Mij

11、例如：14求方阵的逆矩阵（2）余因子(代数余子式)：将nn的方阵A的元素aij的余因子，记为cij，定义为cij=(-1)i+j

12、Mij

13、余因子矩阵：将方阵A的元素aij代之以其余因子，则得到A的余因子矩阵，记为cofA。伴随矩阵：余因子

14、矩阵的转置矩阵称为A的伴随矩阵，记为adjAadjA=(cofA)’15求方阵的逆矩阵（3）如果A是方阵且是非退化的矩阵（即

15、A

16、0），则A的逆矩阵的计算公式为：16例：求下列矩阵A的逆阵17Step1:求

17、A

18、

19、A

20、=-24Step2:求A的余因子矩阵cStep3:求A的伴随矩阵，即c’Step4:解：18(1)令x1,x2,…,xr是一组维数相同的向量，若存在不全为零的实数1,2,…,r使得则称向量组{x1,x2,…,xr}是线性相关的；否则，称{x1,x2,…,xr}是线性无关的。向量组的线性相关19令A是一个nm的矩阵，则A中线性无关的最大列向量称为A的秩，

21、即为rank(A)。若rank(A)=m，则称为列满秩秩的性质：(1)行秩＝列秩=rank(A)(即：rank(A’)=rank(A))(2)如果A是一个nk矩阵，则rank(A)min(n,k)矩阵的秩20令A为nn对称矩阵。(1)如果对除x=0外的所有n1向量x，都有x’Ax>0，则称A为正定的。(2)如果对除x=0外的所有n1向量x，都有x’Ax0，则称A为半正定的。正定和半正定矩阵的性质：(1)正定矩阵的主对角元素都严格为正，半正定矩阵的主对角元素都非负；(2)A是正定的，则A-1存在并正定；(3)如果X是一个nk矩阵，则X’X和XX’都是半正定的；正定

22、和半正定矩阵21令A为nn对称矩阵。如果AA=A，则称A是幂等矩阵。幂等矩阵的性质：令A为nn幂等矩阵(1)rank(A)=tr(A)(2)A是半正定的。幂等矩阵22(1)对于一个给定的n1向量a，对所有n1向量x，定义线性函数f(x)=a’x，则f对x的导数是1n阶偏导数向量a’，即：(2)对一个nn的对称矩阵A，定义则矩阵微分why?why?23如果y是一个n1随机向量，用var(y)（或cov-var(y)）表示的y的方差-协方差矩阵定义为：其中j2=var(yj),ij=var(yi,yj)显然，ij=var(yi,yj)=var(yj,yi)=

23、ji，故var(y)对称。方差-协方差矩阵24第三章经典单方程计量经济学模型：多元回归多元线性回归模型多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的预测回归模型的其他形式回归模型的参数约束25§3.1多元线性回归模型一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定26多元线性回归模型的引入一元（双变量）线性回归模型在实践中对许多情况往往无法描述。例如：对某商品的需求很可能不仅依赖于它本身的价格，而且还依赖于其他相互竞争(互替)或相互补充(互补)的产品价格。此外，还有消费者的收人