初中几何中线段相等的证明黑庄户中学

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1、初中几何中线段相等的证明（黑庄户中学）初中平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性质证明线段相等全等三角形是初中几何的重要内容，它是证明线段相等、角相等的重要依据。这种方法最为普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。（描（找线段）----看△----观全等（无全等时要构造）---找条件）［例1］利用角平分线，构造全等三角形证明线段相等。角是轴对称图形，并且角平分线上的点到角两边的距离相等，

2、利用角的对称性和角平分线的性质，来构造全等三角形从而得到线段相等是解题的一个重要方法。例题：如图，∠AOB＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB的平分线上的任意一点P，使三角尺的两条直角边AOB的两边分别相交于点E、F，试证PE＝PF图1图2分析：如图1，因为OC是角平分线，所以本题可以过P点作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，不难发现只要证明△PME≌△PNF，即可得到PE＝PF，根据∠PME＝∠PNF＝90°、PM＝PN(角平分线性质)、∠MPE＝∠NPF这三个条件，利用ASA可以证明△PME≌△PNF。如图2,因为OP是角平分线，则∠AOP＝∠BOP，所以本题还可以在OF上截取O

3、G，使OG＝OE，利用SAS可以证明△POE≌△POG，所以PE＝PG，只要再证明△PGF是等腰△就可以得到PE＝PF。［例2］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。7证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例3］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。证明：过点E作EG//

4、AF交BC于点G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD构造全等三角形，技巧性强，难度大，在实际问题中，如何迅速地找到解题思路呢？具体问题具体分析，每个题目都有自己的最有特色的最具关键性的条件，解决问题要抓住关键，根据题目中的具体条件，从诸多的条件中找到一些关键性条件，构造出全等三角形，利用这个关键性条件构造全等三角形，常可达到事半功倍的效果。二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相

5、等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。证明：∵DF⊥BC∴∠DFB=∠EFC=90°，

6、∠D=90°－∠B，∠CEF=90°－∠C∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠D=∠CEF∵∠CEF=∠AED7∴∠D=∠AED∴AD=AE三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用一、二方法不易，可以考虑此法。［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。证明：过D作DO⊥AC交AB于点O∵OD垂直平分AC，∠ACB=90°∴BC⊥AC∴O点必为AB的中点，连结EO，则EO⊥AB∵∠CAB=30°，∠BAE=∠CAD=60°∴AD⊥AB，AE⊥AC∴OE

7、//AD，AE//OD∴四边形ODAE为平行四边形∴EF=FD［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。求证：HG=BE。证明：延长AD到A”，使DA”=AD又∵BD=CD∴四边形BACA”是平行四边形∴BA=A”C由题设可知HFGA也是平行四边形∴HF=AG∵HF//AC，∴又∵，HF=AG，BA=A”C∴BH=EG∴四边形BEGH是平行四边形∴HG=