计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法

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1、计算流体力学讲义第九讲有限体积法（1）李新亮lixl@imech.ac.cn；力学所主楼219；82543801知识点：1讲义、课件上传至www.cfluid.com(流体中文网）->“流体论坛”->“CFD基础理论”讲课录像及讲义上传至网盘http://cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live.com/browse.aspx/.PublicCopyrightbyLiXinliang有限体积法的基本概念——重构和反演迎风型有限体积法——Riemann求解器；Roe格式的新理解：近似Riemann解多维迎风型有限体积法——坐标旋转Copyri

2、ghtbyLiXinliang2知识回顾1.差分方法的基本概念：差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理2.精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数）Taylor分析Fourier分析修正波数激波捕捉格式GVC,NND,Roe,Godnov,MUSCL,TVD,WENOEuler(N-S)方程的通量分裂逐点分裂、特征投影分裂（建议使用Roe平均）5.隐格式求解的LU-SGS方法要点：a.引入差量，方程线性化b.单边差分，隐式代数方程显式（推进）化以一维为例，多维可直接推广方法1：直接隐式离散直接求解非线性方程组，计算量大方法2差量化线性化已知项线化

3、微分方程CopyrightbyLiXinliang3CopyrightbyLiXinliang4求解思路：如果直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大（多维情况）如果能单侧差分就好解了！多对角方程组，不好解（多维情况）中心（双侧）离散如果单侧离散单侧离散，可推进求解，免受解方程组之苦。真简单CopyrightbyLiXinliang5可是，A有正有负，无法单侧差分化还是个三对角的奇思妙想：如果分成两个子步，各自用单侧值，就简单多了强行单侧差分会不稳定的近似LU分解Step1:近似LU分解Step2:均为递推求解（两次扫描），免受解方程组之苦j-1->jj+1>

4、j以上描述适用于求解定常问题，求解非定常问题该过程可用于内迭代。迭代收敛后q趋于0，精度由右端项决定CopyrightbyLiXinliang6§9.1有限体积法入门有限体积法主要优势：处理复杂网格差分法处理复杂外形——坐标变换坐标变换函数必须足够光滑——否则损失精度实际问题：外形复杂，光滑的结构网格生成困难差分法有限体积法优点简单、计算量小、易于提高精度本身包含几何信息，易处理复杂网格不足差分离散与几何解耦，难以处理复杂网格复杂、不易提高精度CopyrightbyLiXinliang79.1.1有限体积法的基本概念实质：把几何信息包含于离散过程中虽然简单，但有助于建

5、立基本概念j-1jj+1j-1/2j+1/21.全离散型过程含义：f在j+1/2点的值（注意与差分法的区别）在控制体上积分原方程定义：空间平均时间平均精确推导，不含误差提示：为区间内的空间及时间平均值，如果把它们理解为某点的值，会产生误差CopyrightbyLiXinliang8积分（精确）重构（Reconstruction)有限差分法的离散：数值微分过程有限体积法的离散：数值积分过程积分方程离散化反演（evolution)(1)重构过程A.零阶重构，假设分片常数j-1B.线性重构，假设分片线性函数零阶重构与一阶重构示意图jj+1oror或其他方法C.更高阶的重构例

6、如:分片二次函数（PPM）,WENO等重构是有限体积的空间离散化过程，有多种方法CopyrightbyLiXinliang9（2）演化过程（以线性方程为例）需要得知时间演化信息，通常利用特征方程若采用零阶重构：则：假设时间步长足够小则方程为：等价于一阶迎风差分Riemann解CopyrightbyLiXinliang10若采用线性重构若Warming-BeamLax-Wendroff0阶重构——1阶精度线性重构——2阶精度一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法Euler方程：演化过程可通过Riemann解或近似Riemann解进行CopyrightbyLiXinli

7、ang112.半离散方法全离散：积分方程代数方程（守恒性好，但复杂）半离散：积分方程常微分方程（简便，便于使用R-K等成熟方法）仅空间积分f在j+1/2点的值，仍需要使用周围点进行插值通常无法精确计算，可采用近似值代替等价于二阶中心差分半离散j-1jj+1j-1/2j+1/2重构CopyrightbyLiXinliang129.1.2一维Euler方程的迎风型有限体积法j-1jj+1j-1/2j+1/2半离散1.重构控制体积j-1jj+1左重构值右重构值选择不同的模板会得到不同的重构方案向左偏的模板产生向右偏的模板产生差分法——同一点的导数可使用