高考数学三角函数-典型例题

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1、樊战胜资料（）答疑电话：15129092181三角函数典型例题1．设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a2bsinA.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosAsinC的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由a2bsinA,根据正弦定理得sinA12sinBsinA,所以sinB,2由ABC为锐角三角形得πB.6(Ⅱ)cosAsinCcosAsinAcosAsinA6cosA13cosAsinA223sinA.32．在ABC中,角A．B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC．(Ⅰ)求角B的大小;Ⅱ设msinA,cos2A,n4k,1

2、k1,且mn的最大值是5,求k的值.()【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．∵01,∴t=1时

3、,mn取最大值.第1页共15页樊战胜资料（）答疑电话：15129092181依题意得,-2+4k+1=5,∴k=3.2ABC3．在ABC中角A,B,C所对的边分别为sin,a，b，c,sin2.22I.试判断△ABC的形状;II.若△ABC的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.sinCsinCcosCsinC2sin(C)C222224即C,所以此三角形为直角三角形.2422II.16aba2b22ab2ab,ab64(22)2当且仅当ab时取等号,此时面积的最大值为32642.34．在ABC中,a、b、c分别是角A．B．C的对边,C=2A,cosA,

4、4(1)求cosC,cosB的值;(2)若BABC27,求边AC的长?2【解析】:(1)cosCcos2A2cos2A12911168由cosC1,得sinC37;由cosA3,得sinA78844cosBcosACsinAsinCcosAcosC737319484816(2)BABC27,accosB27,ac24①22又ac,C2A,caA3a②sinAsinC2cos2由①②解得a=4,c=6b2a2c22accosB16364892516b5,即AC边的长为5.5．已知在ABC中,AB,且tanA与tanB是方程x25x60的两个根.(Ⅰ)求tan(

5、AB)的值;(Ⅱ)若AB5,求BC的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程x25x60的两根tanA3,tanB2.∴tan(AB)tanAtanB2311tanAtanB123(Ⅱ)∵ABC180,∴C180(AB).第2页共15页樊战胜资料（）答疑电话：15129092181由(Ⅰ)知,tanCtan(AB)1,∵C为三角形的内角,∴sinC22∵tanA3,A为三角形的内角,∴sinA3,10由正弦定理得:ABBCsinCsinA5335.∴BC21026．在ABC中,已知内角A．B．C所对的边分别为a、b、c,向量m2siBn,,n3cos2B,2co

6、s2B1,且m//n?2(I)求锐角B的大小;(II)如果b2,求ABC的面积SABC的最大值?【解析】:(1)m//n2B2sinB(2cos2-1)=-3cos2B2sinBcosB=-3cos2Btan2B=-3∵0<2B<π,∴2B=2ππ3,∴锐角B=3(2)由tan2B=-3π5πB=或63π①当B=3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC的面积S△13ABC=2acsinB=4ac≤3∴△ABC的面积最大值为35π②当B=6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2

7、+3ac≥2ac+3ac=(2+3)ac(当且仅当a=c=6-2时等号成立)∴ac≤4(2-3)∵△ABC的面积S△11ac≤2-3ABC=2acsinB=4∴△ABC的面积最大值为2-37．在ABC中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且a2c2b21ac.2(1)求sin2ACcos2B的值;2(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.第3页共15页樊战胜资料（）答疑电话：15129092181【解析】1:(1)由余弦定理:cosB=4sin2AC+cos2B=124(2)由cosB115.∵b=2,,得sinB44218115a2+c=2ac+4≥2

8、ac,得ac≤,S△ABC=2acsinB≤(a=c