高考数学三角函数典型例题

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1、三角函数典型例题1．设锐角的内角的对边分别为,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)求的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.(Ⅱ).2．在中,角A．B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC．(Ⅰ)求角B的大小;20070316(Ⅱ)设且的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAc

2、osB=sinA．∵01,∴t=1时,取最大值.依题意得,-2+4k+1=5,∴k=.3．在中,角所对的边分别为,.I.试判断△的形状;II.若△的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4．在中,a、b、

3、c分别是角A．B．C的对边,C=2A,,(1)求的值;(2)若,求边AC的长｡【解析】:(1)(2)①又②由①②解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5．已知在中,,且与是方程的两个根.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若AB,求BC的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程的两根.∴(Ⅱ)∵,∴.由(Ⅰ)知,,∵为三角形的内角,∴∵,为三角形的内角,∴,由正弦定理得:∴.6．在中,已知内角A．B．C所对的边分别为a、b、c,向量,,且｡(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值｡【解析】:(1)Þ2sinB(2cos2-

4、1)=-cos2BÞ2sinBcosB=-cos2BÞtan2B=-∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B=(2)由tan2B=-ÞB=或①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤∴△ABC的面积最大值为②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)∴ac≤4(2-)∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤2-∴△ABC的

5、面积最大值为2-7．在中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】:(1)由余弦定理:cosB=+cos2B=(2)由∵b=2,+=ac+4≥2ac,得ac≤,S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为8．已知,求的值｡【解析】;9．已知(I)化简(II)若是第三象限角,且,求的值｡【解析】10．已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图

6、象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)的最小正周期由题意得即的单调增区间为(2)先把图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度,就得到的图象｡11．已知,,｡(1)求的单调递减区间｡(2)若函数与关于直线对称,求当时,的最大值｡【解析】:(1)∴当时,单调递减解得:时,单调递减｡(2)∵函数与关于直线对称∴∵∴∴∴时,12．已知,求下列各式的值;(1);(2)【解析】:(1)(2)13．设向量,函数(I)求函数的最大值与最小正周期;(

7、II)求使不等式成立的的取值集合｡【解析】14．已知向量,,与为共线向量,且(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.｡【解析】:(Ⅰ)与为共线向量,,即(Ⅱ),,又,,因此,15．如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km｡试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449)【解析】:在中,=30°,=60°-=30°,所以C

8、D=AC=0.1又=180°-60°-60°=60°,故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA在中,,即AB=因此,故B．D的距离约为0.33km｡16．已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)当,求的值域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】：(1)由最低点为得A=2.由x轴上