培优综合训练

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1、培优综合训练1.已知集合M={x

2、x∈R,5-

3、2x-3

4、∈N+},则M的所有非空真子集的个数是()A.254B.255C.510D.511[答](C)2.已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C.则sinB+cosB的取值范围是A.(1,1+B.[,1+C.(1,D.[,[答](C)3.设an=2n,bn=n,(n=1,2,3,。。。),An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn,则数列{cn}的前10项和为A.210+53B.211+53C.110×(29-1)D.110×(210-1)[答](D)4.

5、将一些半径为1的小圆放入半径为11的大圆内,使每个小圆都与大圆相内切,且这些小圆无重叠部分,则最多可以放入的小圆的个数是A.30B.31C.32D.33[答](B)5.设a(0<a<1)是给定的常数,f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)上递减。若f()=0,f(logax)>0,那么x的变化范围是____或_____.6.已知点P是双曲线-=1上的动点,F、F分别是其左、右焦点,O为坐标原点,则的取值范围_________________.7.(本小题满分20分)已知函数f(x)=2x+alnx(1)若a<0,证明:对于任意两个正数x1,x2,总有≥f()成立;(2)若对任意x∈

6、[1,e],不等式f(x)≤(a+3)x-x2恒成立,求a的取值范围。解:(I).………(5分)因为所以,,又,故,所以,;…(10分)(Ⅱ)因为对恒成立,故,,因为,所以,因而,……………………(15分)设因为,当时,,,所以,又因为在和处连续,所以在时为增函数,所以8.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(-2,0),直线y=kx+t与椭圆交于C、D两点,证明:对任意的t>0,都存在k,使得以线段CD为直径的圆过E点.解:(I)直线的方程为,依题意得解得,所以,椭圆方程为.………………

7、……………(5分)(Ⅱ)将代入椭圆方程,得,由直线与椭圆有两个交点,,,……(1)…………(10分)设,则,,……(2)以为直径的圆过点,,即,而,,将(2)代入,,解得,…………(15分),,即满足(1),所以,对任意的,都存在,使得以线段为直径的圆过点.……(20分9.已知数列{an}中的相邻两项a2k-1,a2k是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k×2k=0的两个根.(1)求数列{an}的前2n项和S2n.(2)记f(n)=(+3),Tn=+++…+,求证:≤Tn≤(n∈N+)(I)解:方程的两个根为,,.(Ⅱ)证明:,所以,.当时,,同时,.综上,当时,.

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