培优综合训练

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1、培优综合训练1．已知集合M={x

2、x∈R，5－

3、2x－3

4、∈N+}，则M的所有非空真子集的个数是（）A．254B．255C．510D．511[答]（C）2．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB的取值范围是A．(1，1+B．[，1+C．（1，D．[，[答]（C）3．设an=2n，bn=n，（n=1，2，3，。。。），An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn，则数列{cn}的前10项和为A．210+53B.211+53C.110×（29－1）D.110×（210－1）[答]（D）4．

5、将一些半径为1的小圆放入半径为11的大圆内，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小圆无重叠部分，则最多可以放入的小圆的个数是A．30B.31C.32D.33[答]（B）5．设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上递减。若f（）=0，f（logax）＞0，那么x的变化范围是____或_____.6．已知点P是双曲线－=1上的动点，F、F分别是其左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围_________________.7．（本小题满分20分）已知函数f（x）=2x+alnx（1）若a＜0，证明：对于任意两个正数x1，x2，总有≥f()成立；（2）若对任意x∈

6、[1，e]，不等式f（x）≤（a+3）x－x2恒成立，求a的取值范围。解：（I）.………（5分）因为所以,，又，故，所以，；…（10分）（Ⅱ）因为对恒成立，故，，因为,所以，因而，……………………（15分）设因为，当时,,，所以，又因为在和处连续，所以在时为增函数，所以8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，－b）和B（a，0）的直线与原点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（－2，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D两点，证明：对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点.解：（I）直线的方程为，依题意得解得，所以，椭圆方程为．………………

7、……………（5分）（Ⅱ）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，，，……（1）…………（10分）设，则，，……（2）以为直径的圆过点，，即，而，，将（2）代入，，解得，…………（15分），，即满足（1），所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点．……（20分9.已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2－（3k+2k）x+3k×2k=0的两个根.（1）求数列{an}的前2n项和S2n.（2）记f（n）=（+3），Tn=+++…+，求证：≤Tn≤（n∈N+）（I）解：方程的两个根为，，．(Ⅱ)证明：，所以，．当时，，同时，．综上，当时，．