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时间:2019-05-23
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1、不慎入误区反思收获大——一道习题的错解分析黄锦书(沈惠娟特级教师工作坊)1.习题呈现如图1所示,线段AB与线段CD交于点O,连接AC、BD,AO=OD,要使得△AOC和△BOD全等,可以添加的1个条件是________(请提供尽可能多的方法)。图12.坠入云雾本题是笔者发给学生训练的一道习题,一般的学生填CO=BO、∠OAC=∠ODB或者∠OCA=∠OBD,有些优秀的学生会添加AB=CD,但也有些学生(包括一些优秀的学生在内)填了AC=BD,这些优秀的学生得知填AC=BD不对答案之后困惑了,他们知道,虽然“边边
2、角”不能判定三角形全等,但无论是从题目所给图形上看,还是从三角形全等的结论去逆推,都有AC=BD。1.疑云密布标准答案一定正确吗?不一定,然而,数学的思维是严密的,认为正确需要推理论证,认为错误需要说明理由或举出反例。我试着去证明,过程如下:证明1:如图2所示,连接AD、BC,图2∵AO=DO,∴∠OAD=∠ODA,又∵AC=BD∴△ADC与△ADB的外接圆为等圆或共圆(边相等,同侧所对的圆周角相等,可用反证法来证明,在此略过)∴∠ACD=∠ABD,易证△AOC≌△BOD。正难则反,这题正面证明比较难,就用反证
3、法,又得到下面这种方法。证明2:如图3所示,图3假设△AOC与△BOD不全等,∵AO=OD,AC=BD,则OC≠OB,否则△AOC与△BOD全等。∴在线段OB上或OB的延长线上存在一点E,使得OE=OC,假设点E在线段OB上(如图3所示,若在OB的延长线上,方法一样),易证△AOC≌△EOD,∴DE=AC,∴DE=BD,作DF⊥OB,垂足为F,∵EF≠BF,根据勾股定理,有DE≠BD,前后矛盾,所以△AOC≌△BOD。上述证明过程好像每一步都有理有据,如果答案正确,那么证明过程错在哪里呢?是不是真的答案错了,要
4、不然能举出反例吗?1.拨云见日解题回顾是解题活动的最后一个环节,也是解题活动最重要的一个环节[1]。对于解题回顾,波利亚的解题表的回顾环节的第一句提示语是“你能验证这个结论吗?”为了验证答案是对是错,我利用几何画板进行操作发现:如图4、图5、图6、图7所示,当∠BOD≥∠OBD或∠OBD≥90。时,以D为圆心、BD为半径的圆弧与线段OB的交图4图5点除了端点外并无其它点,所以△BOD唯一确定,此时填AC=BD正确;图6图7如图8所示,当∠BOD<∠OBD<90。时,以D为圆心、BD为半径的圆弧与线段OB的交点中
5、有一点不是端点,所以△BOD并不唯一确定,有2种情况,此时填AC=BD是不正确的。如图9所示,OA=OD,AC=BD,但是△AOC与△BOD并不全等。图8图9至此,我们通过动手操作、观察分析不难发现,原来的错解是受到了题目所给图形的干扰,以固定不变的观点去读图分析,进入了审题误区。由此我们也知道,如果原题中没有图,而是自己动手画图,可能就不会受到干扰也不会引起误解了。1.一片晴空波利亚在解题表的回顾环节中给出提示语:“你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这个结果或
6、方法用于其它问题?”[2]变式练习是中国数学教育的一个创造(张奠宙语),变式的目的是引导学生对数学问题从多层面、多角度进行延伸探究,以培养学生的发散思维,发展其创造力。对这道题进行变式,改变题目条件:如图1所示,线段AB与线段CD交于点O,连接AC、BD,要使△AOC和△BOD全等,可以添加的2个条件是_________(请提供尽可能多的方法)。如图10所示,线段AB与线段CD交于点O,连接并延长CA、BD交于点E,CA=BD,要使△ABE和△CDE全等,可以添加的1个条件是_________(请提供尽可能多的
7、方法)。图10现在再回过头去分析,实际上,原来问题的实质是在线段OB上是否存在一点(不是线段端点)到A点的距离等于AC,或是以D为圆心、BD为半径的圆弧与线段OB的交点中有不是端点的点。在上课讲到三角形全等的判定时,在说明“边边角”不能判定三角形全等时,自己都曾经举出反例(如图11所示,AC=AD,AB=AB,∠B=∠B,但是△ABC和△ABD并不全等)分析说明给学生。此题实质也一样,可是为何一开始自己也犯糊涂了呢?图11罗增儒教授认为学会学解题的四个阶段是简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析,并指出解题的关
8、键是学会解题分析,自觉分析是对解题过程进行自觉的反思,使理解进入到深层结构,阶段不仅反思计算是否正确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等,而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示。[3]也许,自己还没有养成自觉分析的习惯,还不太懂得怎样进行分析,还没能抓住问题的实质,因此,在平时的数学学习中要养成独立思考、反思质疑的良好习惯,要学会进行解题回顾、自觉分析,要善
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