数字信号处理-性能函数

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1、数字信号处理3.2.3最陡下降法3.2.2性能函数表示式及其几何意义3.2.2性能函数表示式及其几何意义自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数下面我们推导它的其它表示方法以及几何意义。将(3.2.14)式代入(3.2.8)式，可以用最小均方误差表示性能函数，推导如下：为表示方便，令ζ=E［e2j］,则将(3.2.12)式代入上式，得到令V=W-W*=［v1,v2,…,vN］TV称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性能函数：(3.2.15)(3.2.16)(3.2.17)因为Rxx是对称的，正

2、定或半正定的，利用它的特征值和特征向量再进一步简化，假设Rxx是N×N维，它的N个特征值为：λ1,λ2,…,λN，将Rxx进行分解，得Rxx=QTΛQ,Λ=QTRxxQ通过调节使Q归一化，即(3.2.18)(3.2.19)(3.2.20)式中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，qi称为特征向量，满足下式：Λ是由特征值组成的对角矩阵，用下式表示：将(3.2.18)式代入(3.2.17)式，得到令(3.2.21)(3.2.22)(3.2.23)(3.2.24)则(3.2.25)上式将性能函数变成了平方和的形式。观察(3.2.24)式，该

3、式将V坐标中的Rxx的特征向量变成了V′坐标中的单位向量。(3.2.26)也就是说，qi′为V′坐标中的第i个单位向量，qi′亦是Λ矩阵对应于λi的特征向量。下面用二维权矢量的情况说明它的几何意义。对于二维权矢量情况，有下面公式：图3.2.5二维权矢量性能表面图3.2.6等均方误差的椭圆曲线族按照(3.2.17)式，有或当c=ζmin时，对应椭圆的中心，V=W-W*,则相当于W坐标平移到V坐标的原点，即V坐标的原点对应W坐标的最佳点W*。这里,v1v2不是椭圆的主轴。但经过对Rxx的分解：且V′=QTV将性能函数的椭圆族(按

4、照(3.2.25)式)变成即或者显然，上式是一个椭圆方程，v1′和v2′是椭圆族的主轴，如果λ1＜λ2,则v1′是长轴，v2′是短轴。因此(3.2.24)式起坐标旋转的作用，将v1v2旋转到主轴上，形成v1′v2′主轴。对于维数N＞2的情况，长轴对应最小特征值，按照上面的椭圆方程长轴正比于；短轴对应于最大特征值，正比于。(3.2.27)3.2.3最陡下降法1.最陡下降法的递推公式将(3.2.11)式代入(3.2.29)式，得到在上式两边都减去W*,并令Vj=Wj-W*,得到Vj+1=［I-2μRxx］Vj由于［·］项不是对

5、角矩阵，计算与分析均复杂。(3.2.30)(3.2.31)(3.2.32)(3.2.29)(3.2.33)此时，［·］项已变成对角矩阵，假设起始值是V0′，可得到上式的递推解为(3.2.34)再将(3.2.24)式代入，再经过坐标平移，即代入Vj=Wj-W*式，最后得到权系数的递推公式：(3.2.35)上面递推公式中，［·］部分已变成对角矩阵，这使分析与研究自适应特性变得简单了。2.收敛条件由最陡下降法的递推公式不难分析出它的收敛条件，即当迭代次数j趋于∞时，权系数收敛最佳时的条件。按照上式，显然只有当(3.2.36)(3

6、.2.37)满足时，才能得到：。(3.2.37)式即是最陡下降法的收敛条件，式中λmax是Rxx的最大特征值。(3.2.36)式中的0表示0矢量。3.过渡过程过渡过程是指权矢量和性能函数由起始点随迭代次数的增加，进行变化的过程。权矢量的过渡过程：按照(3.2.34)式，权矢量的递推解是第i个权系数递推方程是(3.2.38)令(3.2.39)将上式代入(3.2.38)式，得到(3.2.40)上式说明第i个分量vi′按指数规律变化，其时常数为i=1,2,3,…,N(3.2.41)因为一般μ取得比较小，可以近似为i=1

7、,2,3,…,N(3.2.42)因为所以再将(3.2.40)式代入，得到(3.2.43)(3.2.44)式中(3.2.45)上式说明第i个加权系数按照N个指数和的规律变化，由初始值收敛到最佳值，其时常数与特征值成反比。下面分析性能函数的过渡过程。按照(3.2.25)式，性能函数如下式：(3.2.46)将(3.2.40)式代入，得到(3.2.47)上式说明性能函数也是按N个指数和的规律变化，和加权系数过渡过程不同的是时间常数不同，它的时常数为(3.2.48)我们已经知道，性能函数和各个加权系数都是按照N个具有不同时常数的指数和

8、的规律变化的，时常数和特征值成反比，不同的特征值对应的收敛时间是不一样的，但最终的收敛要取决于最慢的指数过程，它的时常数最大，对应最小的特征值，公式如下：(3.2.49)(3.2.50)但为保证收敛，μ不能取得太大，受限于最大特征值λmax。这样，如果特征值比较分散时，即λmax和λmin