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1、3.3分段插值法从上节可知,如果插值多项式的次数过高，可能产生Runge现象，因此，在构造插值多项式时常采用分段插值的方法。一、分段线性Lagrange插值构造Lagrange线性插值1.分段线性插值的构造1显然--------(1)--------(2)我们称由(1)(2)式构成的插值多项式为分段线性Lagrange插值多项式2内插外插外插3也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果因此则4由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为2.分段线性插值的误差估计其中5
2、二、分段二次Lagrange插值分段线性插值的光滑性较差,且精度不高因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值构造Lagrange二次插值1.分段二次插值的构造6上式称为分段二次Lagrange插值显然,插值区间还是7一般8外插内插外插92.分段二次插值的误差估计由于10例:解:(1).分段线性Lagrange插值的公式为11同理12(2).分段二次Lagrange插值的公式为1314三、分段低次插值的算法设计(略)分段低次Lagrange插值的特点计算较容易可以解决Runge现象但插值多项式分段插值曲线在节点处会出现尖点插值多
3、项式在节点处不可导153.4Newton插值法我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,新增一个节点时,每个基函数必须重新计算,人们希望增加一个节点时,前面的计算结果对于后来的计算仍有用.为此,下面介绍一种具有结果继承性的插值法---Newton插值法16考虑多项式组显然线性无关，因此，可以作为插值基函数17有再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商和差分的概念18一、差商(均差)定义1.称依此类推称19差商具有如下性质(请同学们自证)：称20(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值
4、不变如用余项的相等证明21差商的计算方法(表格法):规定函数值为零阶差商差商表如果用Matlab计算均差,可用下面的主句:n=length(x);d=f;%x,f为节点及函数值向量forj=2:nfori=n:-1:jd(i)=(d(i)-d(i-1))/(x(i)-x(i-j+1));endend22二、差分定义2.23依此类推可以证明如24差分表25在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系26依此类推27三、Newton基本插值公式设插值多项式满足插值条件则待定系数为……28因此可得事实上,29记为k次多项式则30由插值多项式的
5、唯一性,Newton插值公式的余项为一般地,当k阶差商接近一个常数时,k+1阶差商会接近于零,这时,取Newton插值估计误差的重要公式31另外从误差式得到推广到一般情形,有位于这些节点之间.当节点等距时位于这些节点之间.32解作差商表102223641520710690702151123560262090例已知下列函数表,求4次newton插值多项式.3334四、等距节点Newton插值公式由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式35则插值公式化为其余项化为36称为Newton向
6、前插值公式插值余项为37插值余项为如果假设可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式由差商与向后差分的关系38
