对称美在高等数学中的应用

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1、对称美在高等数学中的应用提要对称美是数学美的一个重要组成部分，它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支。本文讨论数学中的对称美，并给出了对称美在高等数学解题中的应用。　　关键词：数学美；对称美；对称性　　引言　　古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现，是自然美的客观反映，是科学美的核心。数学美的内容十分丰富，对称美是数学美的一个重要组成部分，它普遍存在于数学的各个分支。　　一、数学中的对称美　　（一）代数中的对称美。对称是代数中随处可见的现象。譬如，实数a与-a互为相反数，复数a+bi与a-bi互为

2、共轭复数，导数的运算法则，（u+v）'＝u'+v'，（uv）'＝u'v+uv'，这些有着明显的对称性。还有，原函数与反函数的图像关于直线y=x对称，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称，都给人以赏心悦目之感。　　例1古人发现的“杨辉三角”，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。　　1　　115　　121　　1331　　14641　　15101051　　……　　它具有的性质：　　（1）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。　　（2）第n行的数字个数为n个。　　（3）第n行数字和为2（n-1）。　　（4）每个数字等于上一行的左右

3、两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角形。　　“杨辉三角”形式上所具有的对称美和谐统一，令人叹为观止。　　例2似乎黄金分割点（在?棕＝0.618处）不是对称点，但若将左端点记为A，右端点记为B，黄金分割点记为C，则■=■，而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点，因为■=■，再进一步，D又是的黄金分割点，C是DB的黄金分割点。由此讨论下去，可以视为一种连环对称。　　（二）几何中的对称美。几何图形的对称美是对称美最通俗、最直观的解释。在几何图形中，平行四边形是中心对称的，等腰三角形是轴对称的，球形最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说：“5一切

4、立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。”正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才有了美丽的图案，有了巧夺天工的建筑，进而渲染出五彩斑斓的世界。　　在几何中，许多问题的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域的成功运用。在笛卡尔直角坐标系中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达成完美的统一。而在各种曲线方程标准形式的推导中，更是充分利用了图形本身的对称性。　　例3Couchy总喜欢把空间里过点（x1，x2，x3）的直线方程写成对称形式：　　■=■=■　　其中cos?琢、cos?茁、cos?酌为直线的方向

5、余弦；同时，他把曲面方程z=f（x，y）写成对称形式F（x，y，z）=0，这样写不仅美观，而且便于书写和记忆。　　例4在笛卡尔坐标系中，伯努利双纽线?籽2＝a2cos2?兹关于坐标原点对称，坐标原点是具有切线y=±x的拐点。曲线的形状类似于横写的阿拉伯数字8，更像表示无穷大的符号∞。　　二、对称美的应用　　（一）对称美在微分学中的应用。对称现象在微分学中并不少见。如，连续与间断，有限与无限，无穷小与无穷大，曲线的凹凸等概念前后呼应，成对出现。在多元复合函数求偏导数时，可以利用函数关于自变量的对称性简便计算。5　　定义1（对称多项式）若函数z=f（x1，x2，…，xn）中任意两个自变量

6、交换后，仍然表示原来的函数，则称此函数关于自变量对称。　　结论：若函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微，且f（x，y）=f（y，x），则fx（x，y）=fy（y，x）。　　由结论可知，对于二元的关于自变量对称的可微函数，求其关于y的偏导数，只需将函数关于x的偏导数中的x与y交换位置即可，此结论还可推广到n阶导数。　　例5设函数u=■，r=■，证明：■＋■+■=0。　　证明：∵■＝■·■＝－■·■=－■，■=■■=－■+■，由函数u=■，r=■关于自变量对称，则■=-■+■，■=-■+■，所以，■＋■+■=-■＋■＝0。　　（二）对称美在积分学中的应用。对称性在积分学中的应用更是极

7、为常见。在定积分的计算中，如果合理利用对称性，则可以大大地简化计算，达到事半功倍的效果。　　例6计算积分■■dx，其中n为自然数。　　解：令x=■-t，可将积分区间化为对称区间。　　■■dx＝■■dt　　＝±■■dt=0　　例7计算积分■e■cosxdx。　　解：令M=■e■cosxdx，可构造对称式N=■e■sinxdx，则，M+N=e■sinx，M-N=e■cosx，从而M＝■e■（sinx－cosx）＋c，M＝■e■（sinx＋cosx）＋c。5