奇异函数建立侧移刚度矩阵的新方法

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1、◆●‘工程力学》增刊2001年·363·奇异函数建立侧移刚度矩阵的新方法徐彬梁启智(昆明理工大学建工学院．昆明650224)(华南理工大学建筑学院．广州51064¨摘要本文舟绍了建立高层结构侧移刚度矩阵的一种新方法。首先利用奇异函数描述竖向构件变形，由侧移相等条件建立基本方程，井通过于矩阵聚和得到结构的侧移刚度矩阵，该矩阵对弯曲或剪切型结构均适用．最后进行了实例分析．关键词奇异函数，高层结构．例移剐度1前言高层建筑结构地震、风振等动力问题中，最常采用的分析模型是多个集中质点的“葫芦串”模型，建立模型的基本问题之一是需要

2、得到结构的侧移刚度矩阵，一般分为刚度法和柔度法两”“”1种。刚度法是由结构的整体剐度矩阵经静力凝缩，去掉多余自由度，保留结构的侧移自由度，该方法需涉及整个结构的自由度，且要进行高阶方阵的求逆，比较麻烦。本文采用柔度法的基本思想，利用奇异函数建立变参数竖向构件(包括柱和剪力墙)的柔度矩阵，再由构件侧移相等条件得到竖向构件的整体关系式。以此同时，把与竖向构件相连的粱或板构件视为约束，利用作者由转角位移方程导出的新关系式，结合竖向构件的整体关系式，可得到一组结构基本方程。最后．基本方程通过子矩阵聚和的方法形成侧移刚度矩阵。2

3、竖向构件柔度矩阵及整体关系式2．1竖向构件柔度矩阵在高层结构中，如果把柱或剪力墙从结构中分离出来．即为一个受到楼层梁或板传来集中力和集中弯矩作用的独立构件．称为竖向构件。从整个高度来看，竖向构件的弯矩和剪力在楼层节点处是不连续的(如图l所示)，一般不能用连续函数直接表示。但是．通过引入奇异函数及相应的运算，问题却很容易解决。对具有n个节点。_】}次变刚度的构件，用奇异函数来表示侧向集中力、集中弯矩引起的构件弯矩及截面变刚度有如下表达式”1慷椎．男．1963．Il出生，工学博士．刚教授盂离省自然科学基叠资助项目7∥I，田

4、I构件弩趄·364·{q-程力学》增刊2001年M(z)=i缸一王)oM，+兰(x一一)1Nj(1)r4II’I熹=钮(，_)。(2)E／(x)r-I～、”其中：符号c，称为麦考利括号，cx—t，’={。j置r，’：：：，一=。：尼为柔度系数，肛击一击趟扣卅’有仆击’击_0魂“k他城代入粱弯曲方程，采用奇异函数积分．对第．，个竖向构件在x=‘(i=1,n)的节点位置可以求出转角y：(x，)和位移y(t)，矩阵形式为3yli=^I。M。．+}niN。＼y=，!tJM。+，nJNi(3．1)(3．2)其中：y：节点转角向量

5、．Y节点侧移向量，M。集中弯矩向量，Nj横向集中力向量／；∽^：，^2，=矗，为柔度矩阵，由奇异函数表示式确定。2．2整体关系式对具有m+1个竖向构件的抗侧力结构，分别进行两组变换：(1)考虑节点侧移相等的条件对(3．2)式求和，并令足。=”三+．1．，22-1，，，。^2，庀：(2)将(3．1)式解出N．代入(3．2)式a最终得到-『构件关系式-有Ly=塾jJX：f、M。+jJK：一FpYjl=Ljm—jijm、M。+Ly把所有竖向构件的关系式组装为整体结构矩阵方程，有(4．1)(4．2)‘扣}=c，{M。}+扣：}

6、(5．1)加’}=C：似。}+E扫}(5．2)其中：E由对角线子阵‘组成；c2由对角线子阵石u一蹦l，组成：。E，由于阵，f鲜1∥构成(f，_，=o，A，卅)，E，，E2分别代表竖向构件的弯曲柔度：荷载引起的转角向量{y：}=E巧1‘}，‘为节点水平荷载向量。同样原理，竖向构件的轴向位o●●'(-r程力学)增刊2001年·365·移向量也可用奇异函数来表示为“，=^J(‘川一tj)，其中厂Ⅳ，为J构件的轴向柔度矩阵，ty-i,tj为竖向构件左、右两侧节点受到的梁端剪力向量·3水平构件关系式3．1梁单元方程如图2所示，设

7、任一构件线刚度为f。，规定弯矩和转角以顺时针为正，将转角位移方程变换，即得到一组新的粱构件关系式：蚝，：毕+ij．y(B，一以，)(6_1)虬．：华¨∥。一钆)(6_2)鲁_，H，=萼c钆饥)(6∞蜀雠lef．Jt皇u砼b三卜一￡‘J——一圈23．2粱列矩阵方程将竖向构件轴向变形关系式代入水平梁单元关系式(6．3)．再利用(6．1)和(6．2)式．将相邻梁列粱端弯矩相加．有,4．j-i,，J一1+AⅣtJ—K6J—Iq—I+(足^』+K6，一1)0j一世6，0』=M，(7)其中：瓦，为对角线矩阵，对角元素为梁线刚度，q

8、和—q分别为粱列在节点处转角和弯矩向量，对整个结构水平构件，写出矩阵方程，有[≯％E]1pt；)={{勉)}鹕’方程由四块组成，，k由粱列剪切柔度和竖向构件轴向变形柔度子矩阵组成：足。由粱列线刚度子矩阵组成；E则由竖向构件轴线与梁列跨中的距离子矩阵一，，一_组成，{0}为未知的梁构件节点转角向量。进一步地从(8)式中消去未知向量{