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1、§3用坐标法研究仿射变换3.1仿射变换的变换公式3.2变换矩阵的性质3.3仿射变换的不动点和特征向量3.4保距变换的变换公式定理平面的仿射点变换f在一个仿射坐标系中的公式为(4.3)其中系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵.反之,如果平面的一个点变换f在一个仿射坐标系中的公式为(4.3),且其系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵,则f是仿射(点)变换.3.1仿射变换的变换公式证明:设f是仿射点变换,I:[O;e1,e2]是平面仿射坐标系,平面上任一点P在I中的坐标为(x,y),P在f下的像f(P)在I中的坐
2、标为(x,y).记II:[f(O);f(e1),f(e2)],根据仿射变换基本定理,它是仿射坐标系,且任一点Q在f下的像f(Q)在II中的坐标等于Q在I中的坐标(x,y).设f(e1),f(e2),f(O)在I中的坐标分别为(a11,a21),(a12,a22),(b1,b2),于是f(P)在II中的坐标为(x,y).3.1仿射变换的变换公式则I到II的坐标变换公式为从而f(P)的I坐标(x,y)和II坐标(x,y)应满足而上式右端的(x,y)又可以理解为P的I坐标,故上式,即(4.3)式就
3、是平面的一个仿射点变换f在一个仿射坐标系中的公式,其系数矩阵A=(aij)是I到II的过渡矩阵,是可逆矩阵.3.1仿射变换的变换公式反之,如果平面的一个点变换f在一个仿射坐标系中的公式为(4.3),且其系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵,则f显然是可逆变换,其逆变换f1可由下式给出此外,设三点A,B,C共线,且在I中的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根据P22.例1.7,则有3.1仿射变换的变换公式由假设,像点f(A),f(B),f(C)在I中的坐标分别为(a11x1+a1
4、2y1+b1,a21x1+a22y1+b2),(a11x2+a12y2+b1,a21x2+a22y2+b2),(a11x3+a12y3+b1,a21x3+a22y3+b2),因为行列式113.1仿射变换的变换公式=0.根据P22.例1.7可知,f(A),f(B),f(C)共线.综上可知,f是仿射(点)变换.3.1仿射变换的变换公式注:1.若平面的仿射点变换f在一个仿射坐标系中的公式为其中系数矩阵A=(aij)是可逆矩阵,则其决定的向量变换在该仿射坐标系中的公式为A称为变换矩阵.(4.3)(4.4
5、)3.1仿射变换的变换公式2.仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵就是I到f(I)的过渡矩阵,因此它的两个列向量分别为I的坐标向量e1,e2的像f(e1),f(e2)在I中的坐标.3.仿射变换的变换公式和坐标变换公式在形式上完全相同,但意义完全不同！仿射变换的变换公式中,(x,y),(x,y)是不同的两个点A及其像点f(A)(或不同的两个向量u与f(u))在同一个坐标系中的坐标;而在坐标变换公式中,(x,y),(x,y)是同一个点(或向量)在不同坐标系中的坐标.3.1仿射变换的变换公式4
6、.对仿射向量变换公式的理解:(1)若知道向量或它的像向量中任一个坐标,可由公式求出另一个坐标.(2)若能求出任意向量及其像向量之间的关系表达式,则其矩阵表达式中的矩阵即为f的变换矩阵.5.给定仿射变换f在仿射坐标系I中的变换公式,若已知某图形或它的像f()的方程,可利用变换公式求出的像f()或的方程.3.1仿射变换的变换公式例1已知在仿射坐标系I中,仿射变换f的点变换公式为直线l的方程为3x+y1=0,求f(l)的方程.解:方法1.根据题设变换公式反解得代入l的方程得3(2x+3y
7、16)+(3x+4y23)1=0.整理得9x13y+72=0.于是f(l)的方程为9x13y+72=0.3.1仿射变换的变换公式方法2.(待定系数法)设f(l)的方程为Ax+By+C=0,将题设变换公式代入得到l的方程为A(4x3y5)+B(3x2y+2)+C=0,它与3x+y1=0都是l的方程,于是从左式得A:B=9:13,右式得A:C=1:8.取A=9,B=13,C=72,得f(l)的方程为9x13y+72=0.3.1仿射变换的变换公式方法3.取l上一点P1(0
8、,1)和l的方向向量u(1,3),根据题设变换公式得f(P1)的坐标为(8,0),根据题设,向量变换公式为得f(u)的坐标为(13,9),于是f(l)的方程为即9x13y+72=0.3.1仿射变换的变换公式例2在仿射坐标系I中,仿射变换f把直线x+y1=0变为2x+y2=0,把直线x+2y=0变为x+y+z=0,把点(1,1)变为(2,3),求f在I中的变换公式.解:方法1.(待定系数法)假设所求变换公式为因为f把直线x+y1=0变为2x+y2=0,即直
