1经典力学的推导

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1、1　经典力学的推导在用经典力学的方法讨论卢瑟福散射问题时,要用到在物理学中的一个很重要的公式——库仑散图1　带电粒子的库仑散射射公式:b=a2ctgH2.　　(a≡z1z2e24PE0E称之为库仑散射因子)其中,b是瞄准距离(又称碰撞参数),即入射粒子与固定散射体无相互作用情况下的最小直线距离.H为散射角(如图1).下面先给出此公式的简明推导:如图,荷电z1e的粒子以速度v→入射,在r→处受力F→=z1z2e24PE0r2r0→,　　(r0→为r→方向的单位矢量)取x轴水平向右,y轴竖直向上,此力沿x轴、y轴方向的分

2、量为:Fx=z1z2e24PE0r2cosU,　　Fy=z1z2e24PE0r2sinU.库仑力是保守力和中心力,故运动过程中入射粒子机械能和角动量守恒:12mv2初=12mv2末]v初=v末=v,mvb=mr2dUdt]dt=r2vbdU.在y方向,由牛顿运动定律,有:mdvydt=Fy=z1z2e24PE0r2sinU]dvy=z1z2e24PE0mr2sinUr2vbdU=z1z2e24PE0mvbsinUdU,y方向速率变化范围为:0→vsinH,U角的变化范围为:0→P-H,∫vsinH0dvy=z1z2e

3、24PE0mvb∫P-H0sinUdU]vsinH=z1z2e24PE0mvb(1+cosH)]b=z1z2e24PE0mv21+cosHsinH=z1z2e22×4PE0EctgH2=a2ctgH2,其中　a≡z1z2e24PE0E.下面再推导卢瑟福散射公式:b→b+db之间的环状区域内入射的粒子散射到H→H+dH之间的立体角内.设薄箔面积为A,厚度为t,则:一个粒子打在距一个原子b→b+db之间的环状区域的几率为:2PbdbA=2PA(a2ctgH2)(-a2csc2H212dH)=-a22PsinHdH16As

4、in4H2=a2d816Asin4H2.薄箔中有nAt个原子核,即有nAt个环,一个粒子打在nAt个原子核的环上的几率为:dp(H)=a2d816Asin4H2nAt.N个粒子打在nAt个原子核的环上被散射到H→H-dH之间的立体角内的粒子数为:dN′=Na2d816Asin4H2nAt=ntNa2d816sin4H2=ntN(14PE0z1z2e24E)2d8sin4H2.定义微分散射截面:　Rc≡dR(H)d8≡dN′Nntd8=(14PE0z1z2e24E)21sin4H2,这就是著名的卢瑟福散射公式.从上面的

5、推导可以看出,用经典力学的方法推导卢瑟福散射公式时,关键是推导出库仑散射公式.而库仑散射公式的推导方法在不同的书籍中不尽相同[1,2,3],我们这里给出了一种简明的方法.