理论力学上海交通大学工程力学系

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1、理论力学CAI版权所有,2002(c)上海交通大学工程力学系理论力学CAI数学基础前言矩阵矢量方向余弦阵平面矢量数学基础7/15/20212理论力学CAI数学基础前言理论力学中的许多概念与表达式涉及到几何矢量及其运算矢量的代数描述及其运算以矩阵为工具对复杂的问题优于矢量几何及其运算理论力学中必须区分矢量与矩阵的概念。在许多科技著作中并不区分这两种数学量本章简要介绍本书将要涉及到的有关内容，并统一符号前言7/15/20213理论力学CAI数学基础矩阵矩阵的定义与运算矩阵的导数矩阵7/15/20214理论力学CAI数学基础矩阵的定义与运算矩阵的定义常见的矩阵运算方阵列

2、阵矩阵/定义与运算7/15/20215理论力学CAI数学基础矩阵的定义将m×n个标量Aij排列成m行，n列的表，定义为m×n阶(维)矩阵矩阵/定义与运算/定义用一黑斜体的大写字母来表示无法区分黑白时可加下横线7/15/20216理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/定义矩阵A的转置矩阵，记为AT例7/15/20217理论力学CAI数学基础常见的矩阵运算矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵相等矩阵与标量乘同阶矩阵求和矩阵乘7/15/20218理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵相等Aij=Bij(i=1,,m;j=1,,n)？例元素间的关

3、系7/15/20219理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵与标量乘交换律例(i=1,,m;j=1,,n)元素间的关系7/15/202110理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算同阶矩阵求和结合律转置运算交换律例(i=1,,m;j=1,,n)元素间的关系7/15/202111理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵乘(i=1,,m;j=1,,n)例元素间的关系7/15/202112理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算(i=1,,m;j=1,,n)例？7/15/202113理论力学CAI数学基础

4、矩阵/定义与运算/常见的运算例(i=1,,m;j=1,,n)7/15/202114理论力学CAI数学基础矩阵/定义与运算/常见的运算矩阵乘运算律结合律转置运算分配律求积无交换律7/15/202115理论力学CAI数学基础矩阵/方阵方阵：m=n对角阵方阵的迹方阵7/15/202116理论力学CAI数学基础矩阵/方阵例单位阵7/15/202117理论力学CAI数学基础矩阵/方阵对称阵：Aij=Aji(i,j=1,,n)例反对称阵：Aij=-Aji(i,j=1,,n)Aii=0(i=1,,n)对称阵反对称阵7/15/202118理论力学CAI数学基础矩阵/方阵

5、非奇异阵与逆矩阵对于方阵A，存在同阶方阵B，有称A为非奇异阵；B为A的逆矩阵，记转置与逆运算7/15/202119理论力学CAI数学基础矩阵/方阵正交阵对于正交阵有满足如下等式的非奇异阵A称为正交阵例A与B互为正交阵+互为逆阵互为转置阵7/15/202120理论力学CAI数学基础矩阵/列阵列阵：只有一列（m个元素）的矩阵为m×1阶矩阵称为m阶列阵m阶列阵a的转置aT为1×m阶矩阵称为m阶行阵用一黑斜体的小写字母来表示无法区分黑白时可加下横线列阵7/15/202121理论力学CAI数学基础矩阵/列阵矩阵的列阵分块表达定义列阵(j=1,,n)7/15/202122理

6、论力学CAI数学基础矩阵/列阵/列阵分块表达例定义列阵(j=1,,n)7/15/202123理论力学CAI数学基础矩阵/列阵矩阵的行阵分块表达定义列阵的转置(i=1,,m)(i=1,,m)7/15/202124理论力学CAI数学基础矩阵/列阵/行阵分块表达例定义列阵(i=1,,m)7/15/202125理论力学CAI数学基础矩阵的导数矩阵对时间的导数矩阵对变量的导数矩阵/导数7/15/202126理论力学CAI数学基础矩阵对时间的导数元素为时间t的函数，记为Aij(t)，该矩阵记为A(t)矩阵/导数/对时间的导数矩阵对时间导数的定义矩阵对时间的导数为一同阶

7、矩阵其各元素为原矩阵的元素Aij(t)对时间的导数7/15/202127理论力学CAI数学基础矩阵对时间导数的运算矩阵/导数/对时间的导数7/15/202128理论力学CAI数学基础例已知矩阵/导数/对时间的导数验证7/15/202129理论力学CAI数学基础例已知矩阵/导数/对时间的导数验证7/15/202130理论力学CAI数学基础矩阵对变量的导数标量函数对变量的偏导数标量函数阵对变量的偏导数矩阵/导数/对变量的的偏导数7/15/202131理论力学CAI数学基础标量函数对变量的偏导数多变量的标量函数(多元函数)矩阵/导数/对变量的偏导数对于一组（n个）变量，

8、通常引入一