数学考研笔记

《数学考研笔记》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、数学笔记三角函数1．，，2．积化和差：，，3．和差化积：，，4．倍角公式：，，，，5．半角公式：，，6．万能公式：设，则，，7．将次公式：，8．其他：，函数极限的性质（1）极限唯一；（反证）（2）有界性：若，则在某个内有界；（3）局部保号性；推论1：若，且A>B，则在某个内；推论2：若，且在某个内，则A≥B。夹逼定理：若在某个内u≤v≤w，且，则。Heine定理：对以为极限的数列且≠，都有。闭区间上连续函数的性质定理：设，（1）有界定理：则M>0，st；（2）最值定理：则，st；（3）根值定理：若，则，st；若，则，st；（4）介值

2、定理：且，则对，都，st；Stolz定理：设且，若(有限值或)，则。推论1：若，则；推论2：若，且，则；推论3：若，且，则（补充首项1）。Cauchy收敛准则Ⅰ：收敛对，当时总有。Cauchy收敛准则Ⅱ：，对，总有。Cauchy收敛准则Ⅲ：收敛，当时，对总有。Cauchy收敛准则Ⅳ：，对，总有对以第一类间断点：均存在，其中：（或不存在），称为可去型；。称为跳跃型。第二类间断点：至少有一个不存在，其中：若之中有一个为，称为无穷型。常用极限，，，，，，，，，，令，则，。等价无穷小量。极限趋近速度双曲函数（奇），（偶），(奇)，，，反：，

3、，一根两端固定自然下垂的绳索，如两根电线杆间的电线，称为悬链线，其方程为：常用导数高阶微分，，不具有形式不变性：为自变量时，；为中间变量时，。误差估计（1）准确值：A近似值：a绝对误差：相对误差：。若（最大）绝对误差：（最大）绝对误差：。（2），的最大绝对误差：。常用积分（不定积分已略去常数C），其中：正交性：广义积分；。，，，。变限积分求导，，，，其中：函数的极值与最值、驻点与拐点1．极值点的必要条件：若是的极值点，则或不存在。充分条件Ⅰ：在，若①在内，且在内，则；②在内，且在内，则；③在和内正负号相同，则不是极值点。充分条件Ⅱ：

4、设存在，且，则①若，；②若，。充Ⅱ引申：设存在，且，则①若为偶数，当，；当，。②若为奇数，不是极值点。2．最值：；。3．驻点：，则称为的驻点。驻点不一定为极值点。4．拐点：若①在处连续，且②在和内正负号相反，则称为的拐点。或不存在的点和的点可能为拐点。曲线C在拐点处凹向发生改变。函数的凸凹1．所谓凸凹是指朝向看去的直观结果。2．，则：①凸函数向上凹（往上无限）；②凹函数向下凹（往下无限）。3．詹生不等式：若在上是凸函数，则有：，其中且。渐近线、曲率与渐屈线1．渐近线①垂直：或，则直线即为垂直渐近线；②斜：，其中；③水平：，则直线即为

5、水平渐近线。2．弧微分曲率，曲率半径曲率中心坐标：，3．渐屈线（中心轨迹）：，原曲线为渐开线。函数作图基本步骤确定定义域讨论对称性与周期性求出，定出或不存在的点列表确定曲线的升降和凹向，算出极值和拐点讨论渐近线描出特殊点，绘出曲线。微分定理1．Fermat定理函数在内有定义，在处可导，且在取局部极值，则。2．Roll定理若函数，且：，则，。3．Lagrange定理若函数，则，；变形①则，——微分中值定理；变形②则，；变形③记，则，——有限增量公式。推论Ⅰ若函数在内有，则在内为一常数。推论Ⅱ若两函数及对有，则（C为一常数）。推论Ⅲ若函

6、数在上存在有界导数，则在上满足Lipschitz条件。Lipschitz条件：若函数在上有定义，且存在常数，对有：，则称在上满足Lipschitz条件。4．Cauchy定理若函数,且对，则，。微分中值定理的应用（辅助函数的构造）Lagrange格式：。Cauchy格式：OR。格式：其中为关于的轮换对称式。分离得到轮换式，。E.g1欲证：。，。E.g2欲证：。，。E.g3欲证：。。E.g4欲证：。令，。函数的一致性连续Def设在上有定义，若对，总存在只与有关而与内的无关的，，当，恒有，则称函数在上一致连续，否则称非一致连续。PS若要证

7、函数在上非一致连续，只证：，对，总，虽然，但。。或用反证法推出矛盾。Cantor定理设，则在闭区间上一致连续。判定对满足Lipschitz条件：为常数，则在上一致连续。函数可积条件定理Ⅰ闭区间上的连续函数是可积的。定理Ⅱ在闭区间上除去有限个点外都连续的有界函数（即具有有限个第一类间断点）是可积的。推论闭区间上的分段连续函数是可积的。定理Ⅲ闭区间上的单调函数必可积。定积分中值定理第一定理：设，且在上不变号，则，。推论设，则，。性质设在上可积，则也可积，且。第二定理：设，且在上不变号，则，。Taylor公式1．多项式;2．函数，Pean

8、o余项;3．函数，Lagrange余项，其中；注：具有阶连续导数和阶导数，所以证明时只可以用次L'Hospital法则，最后一步用Lagrange定理：。4．Maclaurin公式：，在。5．高阶微分形式：，()。其中，仅适用于为自变