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1、第19卷 第2期工 程 数 学 学 报Vol.19No.22002年05月May2002JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICS文章编号:100523085(2002)0220001212径向基函数、散乱数据拟合与X无网格偏微分方程数值解吴宗敏(复旦大学数学系,上海200433)摘 要:介绍了近年来国际上有关散乱数据拟合研究中的径向基函数方法,及其在散乱线性泛函信息插值、无网格偏微分方程数值解中应用的主要内容。关键词:散乱数据拟合;多元逼近;径向基函数;散乱线性泛函信息插值;无网格偏微分方程数值解分类号:AMS(2000)41A30;65D15;65M70;65N
2、35中图分类号:O241.6;O241.82文献标识码:A1 引 言在应用或工程中人们经常用函数来定量化地描述所考察的实际对象,而用方程(很多情形是偏微分方程)来描述各对象之间的关系。应用数学或工程数学的一个非常重要的任务就是如何用合适的函数来描述实际的对象和如何解这些方程。用函数描述实际对象首先需要一个函数空间。我们最熟悉的是多项式函数空间,它是n用一个简单的函数x及自身的乘积x作线性组合得到的。三角多项式函数空间也是用一ixinx个简单的波函数e及自身的乘积或者说参数的拉伸e作线性组合得到的。人们经常使用这两个函数空间,不仅因为它们的函数形式十分简单,具有本质上只用一个简单函数来生
3、成函数空间的特点(这个特点是十分重要的,因为它有计算机容易实现的优点),更重要的是这两个函数空间都可以逼近(譬如利用伯恩施坦逼近、泰勒级数或傅里叶级数)几乎所有的函数,也就是说它有非常强的函数表现能力。当一个函数空间取定以后,如何选取这个空间的一组基也是十分重要问题。比如多项n式函数空间可以有一般的单项式基底{x},也可以选取正交多项式基底如切比契夫多项式。单项式有表示简单的优点,而正交多项式有计算稳定的优点。在计算机辅助几何设计中,人们更多地采用伯恩施坦函数基,因为它有较好的形状再现性质。这些古典的函数空间也有一些缺点,一般认为上述两个函数空间都刚性太强,一个地方的小的扰动会在远处产
4、生X收稿日期:2002202228.作者简介:吴宗敏(1957年6月生),男,博士,教授,研究方向:散乱数据拟合,计算机辅助几何设计,微分方程数值解.基金项目:国家自然科学基金(19971017);杰出青年基金(10125102)资助.©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.2工 程 数 学 学 报 第19卷非常大的影响。所以在上一世纪的六、七十年代样条函数开始逐渐流行起来,并且被应用界广泛地接受。简单地说,样条函数就是分段或分片多项式。它既有多项式表示简单并且可以逼近几乎所
5、有函数的优点,又改正了多项式刚性太强的缺点。一般地说,我们可以在样条函数空间找到B-样条基,它是局部支撑的,从而它是样条函数空间中的一个较好的函数基。在偏微分方程数值解中的有限元方法就是把偏微分方程的解用分片的多项式逼近,或者说在样条函数空间寻找近似解。事实上,有限元法是样条函数基在偏微分方程数值解中的一个最好的应用。可惜的是样条函数基也有一些缺点,特别针对多元(多于4个变元)散乱数据问题,关于散乱数据的三角剖分就是一个非常复杂的拓扑问题,如果还要求这个三角剖分上的样条函数基有高阶连续性,那么其构造是非常困难的。这正是人们很难看到用有限元解高于4个变量的高阶偏微分方程问题的根本原因。国
6、际上最近非常流行的还有小波基,它是样条函数的一个发展,样条小波是小波基的一个重要的组成部分。小波基一般说来也只适用于网格数据的情形,而很难处理多元散乱数据问题。在社会高速发展的时代,我们经常会碰到高维的问题。譬如股票走势模拟就可能是一个几百个变元的问题。如果这个问题还是散乱数据的,对上面所说的函数空间及函数基来说都会感觉到是一个非常困难的问题。那么在多元情形我们应该选取什么样的函数空间及其基底呢?为了计算机储存和运算方便,首先希望可以由一个比较简单的函数Φ(·)经过一些比较简单运算就能够得到函数空间的基。近年来国际上比较认可的处理多元问题的函数基有两种:T楔形基 (ridgebasis
7、function){<(cx+d)}和 径向基 (radialbasisfunction){<(‖x-c‖)},这里<(·)是某个一元函数。这两种基有一个共同的特点:就是用事实上的一元函数来描述多元函数。用它们在计算机里表现多元函数就有明显的储存及运算简单的优点。楔形基利用一个一元函数<(·)T作用在cx+d上。可见这个函数空间是一些类似于平面波的线性组合,所以较多地应用于发展型方程、动力系统的求解上。径向基则利用一个一元函数作用在欧几里得距离
