数列1 讲义 完整.0810094837706 (2)

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1、2012高一暑期补课数学讲义第三部分数列第一节等差与等比数列的性质的应用2课时知识梳理：一、等差数列、等比数列的基本性质等差数列等比数列定义an+1－an＝d＝q通项公式an＝a1+（n－1）dan＝a1×qn-1中项a，A，b成等差数列a，A，b成等比数列（ab＞0）前n项和二、等差数列、等比数列的性质条件等差数列等比数列1.m≤n，m，n∈N*an＝am+（n－m）dan＝am×qn-m2.m+n＝p+q（四个正整数）an+am＝ap+aqan×am＝ap×aq3.距首尾等距的两项a1+an

2、＝a2+an－1＝…（和相等）a1×an＝a2×an－1＝…（积相等）4.子数列的足码成等差数列，则子数列成等差数列成等比数列5.倒序数列成等差数列成等比数列6.间隔相等的等长片断和成等差数列，如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列成等比数列（片断和不能为零）典型例题：一、基本量运算[例1]（暑假15）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.[解析]（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得

3、，或.故，或.（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.故记数列的前项和为.当时，；当时，；当时，.当时，满足此式.综上，一、等差、等比数列的判断与证明等差数列等比数列1）利用定义若an－an－1＝d(常数)(n≥2)，则{an}是等差数列．若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．2）等差中项若数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，则数列{an}是等差数列．若数列{an}中，an≠0且an＋12＝an

4、·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．3）通项法若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．4)前n项和法若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．提醒：(1)前两种方法是证明等差或等比数列的常用方法，而后两

5、种方法常用于选择、填空中的判定．(2)若要判定一个数列不是等差或等比数列，则只需判定存在连续三项不成等差或等比即可．[例2]（暑假16）.设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。（1）求数列的公比；（2）证明：对任意，成等差数列。[例3]　设数列{an}的首项a1＝a≠，且an＋1＝记bn＝a2n－1－，n＝1,2,3….(1)求a2，a3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．[解析]　(1)a2＝a1＋＝a＋，a3＝a2＝a＋.(2)∵a4＝a3＋＝a＋，∴a5＝

6、a4＝a＋，∴b1＝a1－＝a－，b2＝a3－＝(a－)，b3＝a5－＝(a－)，猜想：{bn}的公比为的等比数列．证明如下：∵bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－＝(a2n－1＋)－＝(a2n－1－)＝bn，(n∈N*)∴{bn}是首项为a－，公比为的等比数列．一、等差、等比数列的性质等差数列的简单性质：已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)S2n－1＝(2n－1)an.(2)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．(3)数列{c·an}，{c＋an}

7、，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．[例4]　等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(　　)A．130　　B．170　　C．210　　D．260[解析]　解法1：（利用方程思想）将Sm＝30，S2m＝100代入Sn＝na1＋d得解之得d＝，a1＝＋.∴S3m＝3ma1＋d＝210.解法2：（设而不求、整体处理，利用等差数列依次每k项之和仍然成等差数列的性质）根据等差数列性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数

8、列，从而有2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)．∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.解法3：（数形结合思想的运用）∵Sn＝na1＋d，∴＝a1＋d，∴点(n，)是直线y＝＋a1上的一串点，由三点(m，)、(2m，)、(3m，)共线易知S3m＝3(S2m－Sm)＝210.解法4：（利用选择题型的逻辑结构，采用赋值法）．令m＝1得S1＝30，S2＝100，从而a1＝30，a1＋a2＝100，得到a1＝30，a2＝70，∴a3＝70＋(70－30)＝110，∴S3＝a1＋a2＋a3＝210.