例谈和差倍分关系的证明

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1、例谈和差倍分关系的证明(一)线段和差倍分的常用方法1.截长法在较长线段上截取一段等于一较短线段，再证明剩下线段与另一较短线段相等.2.补短法延长较短线段，使延长的长度等于另一条较短线段的长度，则两条较短线段合并成一条线段，再证明合并线段与原长线段相等.3.面积法在三角形中，遇有高的和差问题，常运用三角形的面积公式，根据“总量等于几个部分的和”列方程解决.4.代数计算法利用设未知数列方程求解，通过计算获证.5.等量代换法利用中间量替换，让问题解决.6.线段成比例法利用平行线分线段成比例，或相似三角形的对应边成比例，或

2、圆（构造辅助圆）中的线段成比例，划归构建成“”或“”的模型，从而获得“”.7.三角函数法在直角三角形中，设一个恰当的锐角为定值，利用锐角三角函数，通过求解获证.（二）角度和差倍分的常用方法主要结合已掌握的定义、公理、定理及法则，运用转化思想，将角度和差倍分的关系问题转化为简单的角度关系问题.在具体转化过程中，有时也运用分类讨论等数学思想方法.例1：如图1，点、、、在⊙上，点在∠的内部，四边形为平行四边形，则∠＋∠______°.分析与解：根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠∠；又因为四边形是平行四边形，

3、所以∠∠；圆内接四边形对角互补，∠＋∠，所以∠，连接，则，，∠∠，∠∠，即有∠＋∠.点评：在圆中等腰三角形多，任一条非直径的弦与两条半径都构成等腰三角形.所以,本题常连接，构成两个等腰三角形，等边对等角，将∠＋∠转化成∠，而∠是圆周角，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠等于∠的一半，且它与□的内角∠互补，用方程思想便可求得∠.本题是以圆为背景的几何综合题.在圆内圆周角和圆心角之间的关系非常重要，经常会利用它们的关系来将角度转化，解决此类题目除了熟练掌握与之相关的数学图形的性质外，还要学会识图，做到数形结合.例2：

4、如图2，是矩形内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上.第3页共3页其中正确的结论的序号是________.（把所有正确结论的序号都填在横线上）分析与解：过点分别向、作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半；同理，过点分别向、作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半.，又因为，则，所以④一定成立．故正确结论的序号为：②④．点评：本题利用三角形的面积公式，计算得出②成立，要充分利用结论②去判断④成立．在这里，不仅要充分利

5、用所给条件，而且也要用足用好已确定的结论对等式进行有效变形．不要因为选出②，就认为找到答案了，对每个结论都要认真分析，④这一选项容易漏选．当然感觉不一定对的，只要能举出一个反例即可．对于特殊的三角形、四边形，遇有高的问题，一般用面积法解决比较简捷．例3：如图3所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，分别以、为边向外作正方形和正方形，过点作⊥于点，过点作⊥于点．(1)如图4，当点恰好在直线上时(此时与重合)，试说明；(2)在图3中，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间的数量关系，并说明理由；

6、(3)如图5，当点在直线的下方时，请直接写出三条线段、、之间的数量关系.(不需要证明)分析与解：（1）在正方形中，∵，，∴．又∵，∴，∴，∴．又∵四边形为正方形，∴，∴．在与中，，∴≌，∴．（2）．如图6，过点作，垂足为，由（1）知：≌，≌，∴,，∴第3页共3页．（3）．点评：本题从点在直线上的特殊位置入手证明两条线段相等，引导学生在解决具体问题时，悟出抽象思维，能够提炼出“L型”模型，为顺利解决后续问题奠定了基础．要看透问题的数学本质，点的位置虽然在变，但基本图形“L型”中的两个全等三角形始终存在，没有变，这就是

7、数学的“魂”．问题（1）中存在一个“L型”模型，只不过问题（2）、问题（3）中将最长的一条线段分成两条线段，构建了两个“L型”模型而已．本题主要运用了“截长法”，这也是证明线段和差最常用的一种方法．例4：已知：中，，、是边上的点，将绕点旋转，得到△，连结．（1）如图7，当，时，求证：；（2）如图8，当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由；（3）如图9，在（2）的结论下，当，与满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）分析与解：（1）证明：如图7，∵旋转得到△，∴，．∵，∴，∴．又∵

8、，∴，∴．（2）．理由：如图8，∵旋转得到△，∴，．∵，∴（SSS），∴，∴．（3）．点评：问题（1）与问题（2）是互逆的，所以问题（1）正好是问题（2）的铺垫，虽然两个问题的提法不同，但解决两个问题的思路是相同的，都是通过证明与全等，问题（3）在问题（2）的基础上，两条探究数量关系的线段等量代换到同一个等腰直角三角形中，至此问题不攻自破，熟练掌握最基本的核