知识点14 函数间断点的求法及分类

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1、学科：高等数学第一章函数与极限知识点14函数间断点的求法及分类精选习题作者：邹群xeb例14.1(难度系数0.2)若f(x)有可去间断点x0，则a，(x1)(xa)b.解析：据x0为f(x)的间断点，可知此时f(x)在x0点必无定义，因此a0；xeb再根据可去间断点处的极限limf(x)lim一定存在，可得b1.x0x0(x1)x解：a0，b1.1(exe)tanx例14.2(难度系数0.2)函数f(x)在[,]上的第一类间断点为1x(exe)x().(A)0(B)1(C)(D)22解析：由于函

2、数在x0、x1点无定义，故x0、x1为间断点.首先易见x1为无穷间断点.1当x0时，由于ex在此点须考虑左右极限，因此1111ex()exeexe2limf(x)lim1,limf(x)limlimx1，111x0x0x0x0x01exeexeex()2x则x0是f(x)的第一类间断点，故选（A）.解：（A）.妙招：寻找间断点的方法在题目没有给出间断点的位置时如何找出所有间断点呢？除了分段函数在分段点可能为间断点之外，针对初等函数的方法是找出函数定义域内使函数无定义但是其去心邻域内有定义的点，

3、它必为间断点.除此之外可断言没有间断点，为什么呢？这是根据初等函数在定义区间内连续，除去定义区间的点即为如上所述的间断点.注意:在某点有定义,但是在此点的去心邻域无定义的点不算间断点,这根据间断点的定义即可知,此类点称为“孤立点”.如f(x)cosx1中x2k(k)均2为孤立点.例14.3(难度系数0.4)xtan(x)求f(x)(1x)4在(0,2)内的间断点并判断其类型.解析：根据上面的“妙招”找出间断点，然后通过求解极限来确定间断点类型.解：对于f(x)要求tan(x)0，cos(x)0,因此当tan(x

4、)0，444x3tan(x)cos(x)0，即xk，xk时f(x)间断，故f(x)(1x)4在444537(0,2)内的间断点为x=、、、.4444xtan(x)5limf(x)lim(1x)4，故x=为f(x)的第二类间断点；同理，x=44xx44为f(x)的第二类间断点.xtan(x)37limf(x)lim(1x)41，故x=为f(x)的第一类间断点；同理，x=x3x34444为f(x)的第一类间断点.lnx例14.4(难度系数0.4)设函数f(x)

5、sinx，则f(x)有（）.x1(A)1个可去间断点，1个跳跃间断点(B)1个跳跃间断点，1个无穷间断点(C)2个无穷间断点(D)2个跳跃间断点lnx解析：同例14.3的解析知f(x)sinx的间断点为x0,x1.x11ln(x)x因为limf(x)limxln(x)limlim0，x0x0x01x012xx1lnxxlimf(x)limxlnxlimlim0，x0x0x01x012xx故x0是f(x)的可去间断点.lnx1/x因为limf(x)sin1limsin1lim

6、sin1，x1x11xx11lnx1limf(x)sin1limsin1limsin1，x1x1x1x1x故x1是f(x)的跳跃间断点.选(A).解：(A).1例14.5(难度系数0.4)设函数f(x)，则（）.xex11(A)x0,x1都是f(x)的第一类间断点.(B)x0,x1都是f(x)的第二类间断点.(C)x0是f(x)的第一类间断点，x1是f(x)的第二类间断点.(D)x0是f(x)的第二类间断点，x1是f(x)的第一类间断点.解析：可判定x0,x1均为间断点，然后再通

7、过极限判定间断点的类型.因为limf(x)，故x0是f(x)的第二类间断点.x01因为limf(x)1,limf(x)0，故x1是f(x)的第一类间断点.选(D).x101x1解：(D)例14.6(难度系数0.2)2,x0,x22设fx4x,0x2，求出fx的间断点，并指出是哪一类间断点，4,x2若可去，则补充定义，使其在该点连续.解析：对于分段函数的间断点一定先对分段点进行判断，然后看一看非分段点有无间断点，此题函数除分段点外均连续.补充定义时结合函数连续性的定义.解：(1)由limf

8、x4，f02，故x0为第一类间断点中的可去间断点，改x0变fx在x0的定义为f04