多元线性回归模型(习题与解答)

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1、第三章多元线性回归模型一、习题（一）基本知识类题型3-1．解释下列概念：1)多元线性回归6)参数估计量的置信区间2)虚变量7)被解释变量预测值的置信区间3)正规方程组8)受约束回归4)无偏性9)无约束回归5)一致性10)参数稳定性检验3-2．观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？31)Y=β+βX+εi01ii2)Y=β+βlogX+εi01ii3)logY=β+βlogX+εi01ii4)Y=β+β(βX)+εi012iiβ05)Y=+εiiβX1i6)Y=1+β(1−Xβ1)+εi0ii7)Y=β+βX+βX10+εi011i22ii3-3

2、．多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？3-4．为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？3-5．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？3-6．请说明区间估计的含义。（二）基本证明与问答类题型3-7．什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型：y=β+βx+βx+L+βx+u，i=1,2,L,n的正规方程组，及其推导过程。i011i22ikkii3-8．对于多元线性回归模型，证明：（1）∑ei=0（2）∑yˆiei

3、=∑(βˆ0+βˆ1x1i+L+βˆkxki)ei=03-9．为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值？预测值的置信区间和置信度的含义是什么？在相同的置信度下如何才能缩小置信区间？为什么？3-10．在多元线性回归分析中，t检验与F检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用？3-11．设有模型：y=β+βx+βx+u，试在下列条件下：01122（1）β+β=112（2）β=β12分别求出β和β的最小二乘估计量。123-12．多元线性计量经济学模型yx=++βββxx+⋅⋅⋅+β+μi=1,2,…,n(2.11.1)ii01122ikkii的矩阵形式是什么？

4、其中每个矩阵的含义是什么？熟练地写出用矩阵表示的该模型的普通最小二乘参数估计量，并证明在满足基本假设的情况下该普通最小二乘参数估计量是无偏和有效的估计量。3-13．有如下生产函数：lnX=1.37+0.632lnK+0.452lnL（0.257）(0.219)2R=0.98Cov(bK,bL)=0.055其中括号内数值为参数标准差。请检验以下零假设：（1）产出量的资本弹性和劳动弹性是等同的；（2）存在不变规模收益，即α+β=1。3-14．对模型y=β+βx+βx+L+βx+u应用OLS法，得到回归方程如下：i011i22ikkiiyˆ=βˆ+βˆx+βˆx+L+βˆxi011

5、i22ikki要求：证明残差εi=yi−yˆi与yˆi不相关，即：∑yˆiεi=0。3-15．3-16．考虑下列两个模型：Ⅰ、y=β+βx+βx+ui122i33iiⅡ、(y−x)=α+αx+αx+u′i2i122i33ii要求：（1）证明：αˆ=βˆ−1，αˆ=βˆ，αˆ=βˆ221133（2）证明：残差的最小二乘估计量相同，即：uˆ=uˆ′ii22（3）在何种情况下，模型Ⅱ的拟合优度R会小于模型Ⅰ拟合优度R。213-17．假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个学年收集数据，得到

6、两个可能的解释性方程：2方程A：Yˆ=125.0−15.0X−1.0X+1.5XR=0.751232方程B：Yˆ=123.0−14.0X+5.5X−3.7XR=0.73124其中：Y——某天慢跑者的人数X1——该天降雨的英寸数X2——该天日照的小时数X3——该天的最高温度（按华氏温度）X4——第二天需交学期论文的班级数请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？（2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号？3-18．对下列模型：y=α+βx+2z+u（1）iiiiy=α+βx−βz+u（2）iiii求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回

7、归方程的最小二乘估计值作比较：（3）y=α+βx−γz+u，你认为哪一个估计值更好？iiii3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括号内为标准差）：Yˆ=10.6+28.4X+12.7X+0.61X−5.9Xi1i2i3i4i2（2.6）(